%I M4855 N2075#125 2022年10月18日19:10:58

%S 1,12,90560315016632840844118401969110923780048636，

%电话194699232878850700393114268001745072100076938289920337206098790，

%电话：147017191860063798201159002756930576400011868613140205091919492202402177742427450200928730960732800

%N a（N）=二项式（2*N+1，N）*（N+1）^2。

%C数值微分系数。

%取前n个整数1、2、3…n，找出其中前n个允许重复的所有组合。找出这些组合的总和，得到这个序列。1和2的示例：1,2,1+1,1+2,2+2的总和为12=a（2）_J.M.Bergot，2016年3月8日

%让cos（x）=1-x^2/2+x^4/4-x^6/6！…=Sum_i（-1）^i x ^（2i）/（2i）！是余弦的标准幂级数，y=2*（1-cos（x））=4*sin^2（x/2）=x^2-x^4/12+x^6/360…=求和2*（-1）^（i+1）x^（2i）/（2i！是一个紧密相关的系列。然后这个序列表示反转x^2=Sum_i 1/a（i）*y^（i+1）_R.J.Mathar，2022年5月3日

%D C.Lanczos，应用分析。普伦蒂斯·霍尔（Prentice-Hall），新泽西州恩格尔伍德克利夫斯（Englewood Cliffs），1956年，第514页。

%D J.Ser，Les Calculs Formels des Séries de Factorielles出版社。高瑟·维拉斯（Gauthier-Villars），巴黎，1933年，第92页。

%D N.J.A.斯隆，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

%D N.J.A.斯隆和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H T.D.Noe，n表，n=0..200时的a（n）</a>

%H W.G.Bickley和J.C.P.Miller，差分表极限附近的数值微分

%Hmür Deveci和Anthony G.Shannon，<a href=“https://doi.org/10.20948/运动月-2021-50-4“>Neyman三角形和Delannoy数组的一些方面</a>，Mathematica Montisnigri（2021），L卷，36-43。

%H C.Lanczos，应用分析（选定页面的注释扫描）

%H A.Petojevic和N.Dapic，<A href=“http://www.mi.sanu.ac.rs网站/~gvm/radovi/AP-Budva.pdf“>vAm（a，b，c；z）函数</a>，Preprint 2013。

%H H.E.Salzer，<a href=“http://dx.doi.org/10.1002/sapm1943221115“>具有中心差分的数值微分系数，《数学物理杂志》，22（1943），115-135。

%H H.E.Salzer，<a href=“/A002457/A002457_2.pdf”>具有中心差分的数值微分系数，J.Math。物理。，22 (1943), 115-135. [带注释的扫描副本]

%H J.Ser，《工厂的法律形式》，巴黎，Gauthier-Villars，1933年[本地副本]。

%H J.Ser，<a href=“/A002720/A002720.pdf”>Les Calculs Formels des Séries de Factorielles</a>（一些选定页面的注释扫描）

%H R.Shenton和A.W.Kemp，<A href=“https://doi.org/10.1016/0377-0427（89）90308-7“>S分数和ln^2（1+x）</a>，《计算与应用数学杂志》，26（1989）367-370 North-Holland。

%H T.R.Van Oppolzer，<a href=“http://www.archive.org/stream/lehrbuchzurbahnb02opopo#page/21/mode/1up“>Lehrbuch zur Bahnbestimmung der Kometen und Planeten，第2卷，恩格尔曼，莱比锡，1880年，第21页。

%H Mats Vermeeren，<a href=“http://arxiv.org/abs/1506.05288“>巴塞尔问题的动态解决方案，arXiv预打印arXiv:1506.05288[math.CA]，2015。

%F G.F.：（1+2x）/（1-4x）^（5/2）。

%F a（n-1）=和（i_1+i_2+…+i_n），其中和大于0i_n≤n；a（n）=（n+1）^2 C（2n+1，n）_David Callan_，2003年11月20日

%F a（n）=（n+1）^2*二项式（2*n+2，n+1）/2.-_Zerinvary Lajos，2006年5月31日

%F渐近：a（n）->（1/64）*（128*n^2+176*n+41）*4^n*n^（-1/2）/（sqrt（Pi）），对于n->无穷大_Karol A.Penson，2013年8月5日

%光纤：2F1（3/2,2；1；4x）_R.J.Mathar，2015年8月9日

%F a（n）=A002457（n）*（n+1）.-_R.J.Mathar，2015年8月9日

%F a（n）=A000217（n）*A000984（n）.-_J.M.Bergot，2016年3月10日

%F a（n-1）=A001791（n）*n*（n+1）/2.-_安东·扎哈罗夫（Anton Zakharov），2016年7月4日

%F From _Ilya Gutkovskiy_，2016年7月4日：（开始）

%例如：（（1+2*x）*（1+8*x）*BesselI（0,2*x）+2*x*（3+8*x）*1,2*x）*exp（2*x。

%F和{n>=0}1/a（n）=Pi^2/9=A100044。（结束）

%F From _Peter Bala，2017年4月18日：（开始）

%对于x=y^2/（1+y），我们有log^2（1+y）=Sum_{n>=0}（-1）^n*x^（n+1）/a（n）。见申顿和坎普。

%F级数反转（求和{n>=0}（-1）^n*x^（n+1）/a（n））=Sum{n>=1}2*x^n/（2*n）！=和{n>=1}x^n/A002674（n）。（结束）

%F D-有限，递推n^2*a（n）-2*（n+1）*（2*n+1）*a（n-1）=0.-_R.J.Mathar，2021年2月8日

%F和{n>=0}（-1）^n/a（n）=4*弧（1/2）^2=A202543^2_阿米拉姆·埃尔达尔，2022年5月14日

%p seq（（n+1）^2*（二项式（2*n+2，n+1））/2，n=0..29）；#_Zerinvary Lajos，2006年5月31日

%t表[二项式[2n+1，n]（n+1）^2，{n，0,20}]（*_Harvey P.Dale_，2011年3月23日*）

%o（PARI）a（n）=二项式（2*n+1，n）*（n+1）^2

%o（PARI）x='x+o（'x^99）；Vec（（1+2*x）/（1-4*x）^（5/2））\\阿尔图·阿尔坎，2016年7月9日

%o（Python）

%o来自症状输入二项式

%o定义a（n）：返回二项式（2*n+1，n）*（n+1）**2#_Indranil Ghosh，2017年4月18日

%Y参见A085373、A002457、A002674、A202543。

%Y等于A002736/2。

%Y A331430的对角线。

%K nonn，简单，不错

%0、2

%A _N.J.A.Sloane，西蒙·普劳夫_