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%I M0937 N0351#128 2023年7月2日13:37:48
%S 1,2,4,4,6,8,8,8，8,13,12,12,16,14,16,24,16,18,26,20,24,32,24,32，31，
%电话：28,40,32,30,48,32,32,48,36,48,52,38,40,56,48,42,64,48,78,48,64，
%U 57,62,72,56,54,80,72,64,80,60,96,62,64104,64,84,96,68,72,96,96,72
%N N的除数d之和，使得N/d是奇数。
%C Glaisher将此称为Delta’（n）或Delta’_1（n）_N.J.A.Sloane，2018年11月24日
%C等于三角形A143119的行和_Gary W.Adamson_，2008年7月26日
%C Cayley以“To find the value of A，=8{q/（1-q）^2+q^3/（1-q^3）^2+&C.}”开始第386条，其中A是这个序列的g.f.的8倍_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2011年8月1日
%C a（n）=2*（a（n-1）-a（n-4）+a（n-9）…+-a（n-i^2）…）直到最后一个正数n-i^2，如果n是一个正方形，那么a（0）应该替换为n/2（参见Halphen）_Michel Marcus，2012年10月14日
%C自2019年11月26日_Omar E.Pol_起：（开始）
%C a（n）也是n分成相等部分的奇数部分的总数。
%Ca（n）＝n，当n是2的幂时。
%Ca（n）=n+1当n是奇素数时。（结束）
%D A.Cayley，《关于椭圆函数的基本论述》，G.Bell and Sons，伦敦，1895年，第294页，第386条。
%D G.Chrystal，《代数：中学高年级和大学的初级教科书》，第6版，切尔西出版社，1959年，纽约，第二部分，第346页，练习二十一（18）。MR0121327（22#12066）
%D A.P.Prudnikov，Yu。A.Brychkov和O.I.Marichev，“积分与级数”，第1卷：“初等函数”，第4章：“有限和”，纽约，Gordon和Breach科学出版社，1986-1992年，等式（5.1.29.3），（5.1.29.9）。
%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
%H T.D.Noe，n的表格，n的a（n）=1..10000</a>
%H H.H.Chan和C.Kreattehaler，<a href=“https://arxiv.org/abs/math/0407061“>整数表示为平方和的最新研究进展，arXiv:math/0407061[math.NT]，2004。
%H J.W.L.Glaisher，<a href=“https://books.google.com/books？id=bLs9AQAAMAAAJ&pg=RA1-PA1“>关于数字表示为二、四、六、八、十和十二个方块之和，Quart.J.Math.38（1907），1-62（见第4页和第8页）。
%H G.-H Halphen，<a href=“http://www.numdam.org/item？id=BSMF_1878__6__119_1“>Sur les sommes des diviseurs des nombres entiers et les décompositions en deux carrés</a>，法国公牛数学协会，6（1877-1878），119-120。
%H P.A.MacMahon，<A href=“http://dx.doi.org/10.112/plms/s2-19.1.75“>分拆理论中的数字除数及其延续</a>，Proc.London Math.Soc.，19（1921），75-113。
%H为Glaisher提到的序列索引条目</a>
%F K（K^2）*（K（K*2）-E（K^ 2））/（2*Pi^2）的q次幂展开式，其中q是Jacobi的nome，K（），E（）是完全椭圆积分_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2011年8月1日
%F与a（p^e）乘积=p^e，如果p=2；如果p>2，则为（p^（e+1）-1）/（p-1）_David W.Wilson，2001年8月1日
%F a（n）=偶数n的σ（n）-σ（n/2）和=σ（n），否则σ（m）是n（A000203）的除数之和_Valery A.Liskovets_，2002年4月7日
%F G.F.：A（x）满足0=F（A（x”），A（x^2），A“x^3”，A（x^6）），其中F（u1，u2，u3，u6）=2*u1*u6-u1-10*u2*u6+u2^2+2*u2*u3+9*u6^2_Michael Somos，2005年4月10日
%F G.F.：A（x）满足0=F（A（x”），A（x^2），A“x^3”，A（x^6）），其中F（u1，u2，u3，u6）=（u2-3*u6）^2-（u1-2*u2）*（u3-2*u6_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2005年9月6日
%F G.F.：Sum_｛n>=1｝n*x^n/（1-x^（2*n））-_Vladeta Jovovic_，2002年10月16日
%F G.F.：和{k>0}x ^（2*k-1）/（1-x^（2%k-1））^2.-_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2005年8月17日
%F G.F:（1/8）*theta_4''（0）/theta_4（0）=（和{k>0}-（-1）^k*k^2q^（k^2））/（Z}（-1）中的和{k*q^。
%F G.F.：A（q）=Z'（0）*K^2/（2*Pi^2）=（K-E）*K/（2*Pi^2），其中Z（u）是Jacobi Zeta函数，K，E是完全椭圆积分_Michael Somos，2005年9月6日
%F Dirichlet g.F.：zeta（s）*zeta（s-1）*（1-1/2^s）_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2003年4月5日
%F Moebius变换是A026741。
%F a（n）=n*Sum_{c|n}1/c，其中c是奇数（A005408）除以n-_雅罗斯拉夫·克里泽克，2013年11月7日
%F L.g.F.：求和{k>0}atanh（x^k）=求和{n>0}（a（n）/n）*x^n.-_本尼迪克特W.J.欧文，2016年7月5日
%F a（n）=A006519（n）*A000203（n/A006519（n））_罗伯特·伊斯雷尔（Robert Israel），2016年7月5日
%F和{k=1..n}a（k）~Pi^2*n^2/16.-_Vaclav Kotesovec_，2019年2月1日
%F a（n）=（A000203（n）+A000593（n））/2.-_Amiram Eldar，2019年8月12日
%F From _Peter Bala，2021年1月6日：（开始）
%通用公式：A（x）=（1/2）*Sum_{n=-oo..oo}x^（2*n+1）/（1-x^。
%F A（x）=和{n=-oo..oo}x^（4*n+1）/（1-x^。
%F a（2*n）=2*a（n）；a（2*n+1）=A008438（n）。（结束）
%F（-1/2）x（d phi（-x）/dx）/phi（-x）的x次幂展开式，其中phi（）是Ramanujan theta函数_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2023年7月1日
%e G.f.=q+2*q^2+4*q^3+4*q^4+6*q^5+8*q^6+8*q*q^7+8*qq^8+13*q^9+。。。
%e 6的除数是1、2、3和6。只有6/2和6/6是奇数。因此，a（6）=2+6=8。
%e As 120=15*2^3，其中15是奇数，2^3是2除以120的最大幂，a（120）=σ（15）*2^3=24*8=192_David A.Corneth，2019年8月12日
%e对于n=6，6的等分为[6]、[3,3]、[2,2,2]、[1,1,1,1]。有8个奇数部分，因此a（6）=8.-_Omar E.Pol_，2019年11月26日
%p a：=proc（n）局部e；
%pe:=2^padic:-ordp（n，2）；
%p e*数量理论：-σ（n/e）
%p端程序：
%p映射（a，[$1.100]）；#_罗伯特·伊斯雷尔（Robert Israel），2016年7月5日
%t a[n_]：=总[格[除数[n]，d_/；奇数Q[n/d]]；表[a[n]，{n，1,71}]（*Jean-François Alcover_，2011年3月18日*）
%t a[n_]：=如果[n<1，0，DivisorSum[n，#/GCD[#，2]和]（*迈克尔·索莫斯，2011年8月1日*）
%t a[n]：=带[｛m=InverseEllipticNomeQ@q｝，系列系数[（1/8）EllipticK[m]（EllipticK[m]-EllipticE[m]）/（Pi/2）^2，｛q，0，n｝]]（*_Michael Somos_，2011年8月1日*）
%t表[Total[Select[Divisors[n]，OddQ[n/#]&]]，{n，80}]（*_哈维·P·戴尔，2015年6月5日*）
%t a[n_]：=级数系数[With[{m=Inverse EllipticNomeQ[q]}，（1/2）（Elliptic K[m]/Pi）^2（D[JacobiZeta[Jacobi振幅[x，m]，m]、x]/.x->0）]，{q，0，n}]；（*迈克尔·索莫斯，2017年3月17日*）
%tf[2，e_]：=2^e；f[p，e]：=（p^（e+1）-1）/（p-1）；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；阵列[a，100]（*_Amiram Eldar_，2020年9月21日*）
%o（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，方向（p=2，n，（1-（p<3）*X）/（1-X）*（1-p*X））[n]）}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2003年4月5日*/
%o（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，sumdiv（n，d，d/gcd（d，2）））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2003年4月5日*/
%o（PARI）a（n）=我的（v=估价（n，2））；西格玛（n>>v）<avid A.Corneth，2019年8月12日
%o（哈斯克尔）
%o a002131 n=总和[d | d<-[1..n]，mod n d==0，奇数$div n d]
%o--_Reinhard Zumkeller，2011年8月14日
%o（岩浆）[&+[d:d in Divisor（m）|IsOdd（Floor（m/d））]:m in[1..75]]；//_Marius A.Burtea，2019年8月12日
%o（Python）
%o来自math导入prod
%o来自sympy进口保理商
%o def A002131（n）：返回prod（p**e if p==2 else（p**（e+1）-1）//（p-1）for p，e in factorint（n）.items（））#_Chai Wah Wu_，2021年12月17日
%Y A060047的对角线。剖分A008438。
%Y参见A000203、A000593、A006519、A026741、A143119、A192065、A244051、A301798、A326938（Dirichlet反转）。
%不，好，容易，多
%O 1,2号机组
%A _N.J.A.Sloane，西蒙·普劳夫_
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