%I M0020#405 2024年6月13日14:31:59

%S 1,2,2,0,5,6,9,0,3,1,5,9,5,8,5,3,9,9,7,3,8,1,6,1,5,1,4,4,9，

%T 9,9,0,7,6,4,9,8,6,2,9,2,3,4,4,9，8,8,1,7,9,2,7,1,5,5,3,4,1,8，

%U 3,8,2,0,5,7,8,6,3,1,3,0,9,0,1,8,4,5,5,8,7,3,6,0,9，3,3,5,5，8,1,4,6,1,9,9,1,5

%N阿佩里数或阿佩里常数zeta（3）。ζ（3）=Sum_｛m>=1｝1/m^3的十进制展开式。

%C有时称为阿佩里常数。

%C“一个自然的问题是泽塔（3）是否是Pi^3的有理倍数。尽管1978年R.Apéry成功地证明了Zeta（3）是非理性的，但这一点并不为人所知。在第8章中，我们指出两个随机整数相对素数的概率是6/Pi^2，即1/Zeta（2）。这概括为：k个随机整数相对素数的概率是1/Zeta（k）。“[斯坦·瓦贡]

%C 2001年，Tanguy Rivoal表明，有无穷多个奇数（正）整数的zeta是无理的，其中至少有一个值j在5<=j<=21的范围内（同年由Zudilin细化为5<=j<=11），在此范围内，zeta（j）是无理。有关更多信息和参考，请参阅Rivoal链接。

%这个常数的倒数是使用均匀分布随机选择的三个整数相对素数的概率Joseph Biberstine（jrbibers（AT）indiana.edu），2005年4月13日

%还有zeta（1,2）的值，参数1和2的双zeta函数_R.J.Mathar，2011年10月10日

%C还有在0和1之间具有均匀随机边长度的大型完整图的最小生成树的长度，请参阅John Baez的评论链接_M.F.Hasler，2017年9月26日

%C立方体倒数之和（A000578）_Michael B.Porter，2017年11月27日

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%F Lima将ζ（3）近似为（236*log（2）^3）/197-283/394*Pi*log（2）^2+11/394*Pi^2*log（2）+209/394*log（sqrt（2）+1）^3-5/197+（93*Catalan*Pi）/197。-_Jonathan Vos Post_，2009年10月14日[由_Wouter Meeussen_更正，2010年4月4日]

%F zeta（3）=5/2*Integral_（x=0..2*log（（1+sqrt（5））/2），x^2/（exp（x）-1））+10/3*（log（1+m2））^3.-_2011年8月12日，Kirikami Seiichi

%F zeta（3）=-4/3*Integral_{x=0..1}log（1-x）^2=-16/7*积分{x=0..Pi/2}x*log（2*cos（x））=-4/Pi*积分{x=0..Pi/2}x^2*log_Jean-François Alcover_，2013年4月2日，在R.J.Mathar之后_

%F From _Peter Bala，2013年12月4日：（开始）

%F zeta（3）=（16/7）*和{k偶数}（k^3+k^5）/（k^2-1）^4。

%F zeta（3）-1=和{k>=1}1/（k^3+4*k^7）=1/（5-1^6/（21-2^6/（续分数）。

%F更一般地，有一系列多项式P（n，x）（2*n次），如下所示

%F zeta（3）-Sum_{k=1..n}1/k^3=Sum_{k>=1}1/（k^3*P（n，k-1）*P（n，k））=1/（（2*n^2+2*n+1）-1^6/（3*（2*n ^2+2*n+3）-2^6/（续分数）。详见A143003和A143007。

%F系列加速度公式：

%F zeta（3）=（5/2）*和{n>=1}（-1）^（n+1）/（n^3*二项式（2*n，n））

%F=（5/2）*Sum_{n>=1}P（n）/（（2*n（2*n-1））^3*二项式（4*n，2*n））

%F=（5/2）*Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）*Q（n）/（（3*n（3*n-1）*（3*n-2））^3*二项式（6*n，3*n）），其中P（n）=24*n^3+4*n^2-6*n+1和Q（n。（结束）

%F zeta（3）=总和{n>=1}（A010052（n）/n^（3/2））=总和}（（楼层（sqrt（n））-楼层（squart（n-1））/n^2））_Mikael Aaltonen，2015年2月22日

%F zeta（3）=乘积{k>=1}1/（1-1/素数（k）^3）_瓦茨拉夫·科特索维奇，2020年4月30日

%F zeta（3）=4*（2*log（2）-1-2*Sum_{k>=2}zeta（2*k+1）/2^（2*k+1））_豪尔赫·科维罗，2020年6月21日

%F泽塔（3）=（4*泽塔“”（1/2）*（泽塔（1/2））^2-12*泽塔（1/2）*泽塔”（1/2_阿图尔·贾辛斯基（Artur Jasinski），2020年6月27日

%F zeta（3）=和{k>=1}H（k）/（k+1）^2，其中H（k_Amiram Eldar，2020年7月31日

%F来自_Artur Jasinski_2020年9月30日：（开始）

%F zeta（3）=（5/4）*Li_3（1/F^2）+Pi^2*log（F）/6-5*log，

%F zeta（3）=（8/7）*Li_3（1/2）+（2/21）*Pi^2 log（2）-（4/21）log（3）^3，其中F是黄金比率（A001622），Li_3是多对数函数，John Landen于1780年出版的公式，第118页。（结束）

%F zeta（3）=（1/2）*积分{x=0..oo}x^2/（e^x-1）dx（古尔登）.-_伯纳德·肖特，2021年4月28日

%F From _Peter Bala，2022年1月18日：（开始）

%F zeta（3）=1+和{n>=1}1/（n^3*（4*n^4+1））=25/24+（2！）^4*和{n>=1}1/）。一般来说，对于k>=1，我们有zeta（3）=r（k）+（k！）^4*Sum_{n>=1}1/（n^3*（4*n^4+1）**（4*n^4+k^4）），其中r（k）是有理的。

%F zeta（3）=（6/7）+（64/7）*Sum_{n>=1}n/（4*n^2-1）^3。

%F更一般地说，对于k>=0，似乎ζ（3）=a（k）+b（k）*Sum_{n>=1}n/（（4*n^2-1）*（4*n^2-9）**（4*n^2-（2*k+1）^2））^3，其中a（k）和b（k）是有理的。

%F zeta（3）=（10/7）-（128/7）*Sum_{n>=1}n/（4*n^2-1）^4。

%F更一般地说，对于k>=0，zeta（3）=c（k）+d（k）*Sum_{n>=1}n/（（4*n^2-1）*（4*n ^2-9）**（4*n^2-（2*k+1）^2））^4，其中c（k）和d（k）是有理的。【添加于2023年11月27日：关于a（k）、b（k）、c（k）和d（k）的值，请参见Bala 2023链接第8节和第9节。】

%F zeta（3）=2/3+（2^13）/（3*7）*Sum_{n>=1}n^3/（4*n^2-1）^6。（结束）

%F zeta（3）=-Psi（2）（1/2）/14（在1/2处计算的地高玛函数的二阶导数）_阿图尔·贾辛斯基，2022年3月18日

%F zeta（3）=-（8*Pi^2/9）*Sum_{k>=0}zeta（2*k）/_阿米拉姆·埃尔达尔，2022年5月28日

%F zeta（3）=Sum_{k>=1}（30*k-11）/（4*（2k-1）*k^3*（二项式（2k，k））^2）（Gosper，1986和Richard k.Guy参考）_伯纳德·肖特，2022年7月20日

%F zeta（3）=（4/3）*积分{x>=1}x*对数（x）*（1+log（x））*对数（1+1/x^x）dx=（2/3）*整数{x>=1}x^2*log（x）^2*（1+对数（x_Peter Bala，2023年11月27日

%F zeta_3（n）=1/180*（-360*n^3*F（-3，n/4）+Pi^3*（n^4+20*n^2+16））/。将给出至少1位精度/术语，例如：zeta_3（5）=1.202056944732….-Simon Plouffe_，2023年12月21日

%F zeat（3）=1+（1/2）*Sum_{n>=1}（2*n+1）/（n^3*（n+1）^3）=5/4-（1/4）*Sum _{n>=1}（n^5*（n+2）^5）=19/16+（128/21）*Sum_{n>=1}（n+1）/（n^6*（n=2）^6）-（1/21）*Sum _{n>=1}_Peter Bala，2024年4月15日

%电子1.2020569031595942853997。。。

%p#计算具有n个精确小数位的近似值（小偏差

%最后一位可能是p#）。回到A.A.Markoff 1890年的观点。

%p zeta3:=进程（n）局部s，w，v，k；s：=0；w:=-1；v：=4；

%p代表k从2乘2到7*n/2 do

%pw:=-w*v/k；

%pv：=v+8；

%p s：=s+1/（w*k ^3）；

%p od；20*s；evalf（%，n）结束：

%p齐塔人3（10000）；#_Peter Luschny_，2020年6月10日

%t实际数字[N[泽塔[3]，100]][[1]

%t（*第二个程序（历史兴趣）：*）

%t d[n]：=34*n^3+51*n^2+27*n+5；6/折叠[函数[d[#2-1]-#2^6/#1]，5，反转[范围[100]]//N[#，108]和//RealDigits//第一个

%t（*_Jean-François Alcover_，2014年9月19日，在Apéry的连续分数之后*）

%o（PARI）默认值（realprecision，20080）；x=zeta（3）；对于（n=120000，d=楼层（x）；x=（x-d）*10；写入（“b002117.txt”，n，“”，d）；\\_Harry J.Smith，2009年4月19日

%o（最大值）fpprec:100$ev（bfloat（zeta（3）））$bfloat（%）；/*_Martin Ettl，2012年10月21日*/

%o（Python）

%o从mpmath导入mp，apery

%o mp.dps=109

%o打印（[int（z）for z in list（str（apery）.replace（'.'，''））[：-1]]）#_Indranil Ghosh_，2017年7月8日

%o（岩浆）L:=RiemannZeta（：精度：=100）；评估（L，3）；//_G.C.Greubel，2018年8月21日

%Y参考A013631、A013679、A013661、A013663、A013667、A013669、A013671、A013675、A013677、A059956（6/Pi^2）、A084225；A084226。

%Y参考A197070:3*zeta（3）/4；A233090:5*泽塔（3）/8；A233091:7*泽塔（3）/8。

%Y参考A001008、A002805、A143003、A143007。

%Y参考A000578（立方体）。

%Y Cf.倒数和：A152623（四面体数）、A175577（八面体数），A295421（十二面体数。

%K cons，nonn，nice，changed

%O 1,2号机组

%A _N.J.A.斯隆_

%E来自_David W.Wilson的更多条款_

%E Robert G.Wilson v_的补充意见，2000年12月8日

%N·J.A.Sloane于2005年12月24日更正了Stan Wagon的报价。感谢Jose Brox注意到这个错误。

%E编辑：M.F.Hasler，2017年9月26日