%I M1662 N0653#222 2024年4月6日09:03:11

%S 1,2,6,22,9445424301421489918610182441279833827974273646526，

%电话：232698099820732504062192982729350187195399225418880288847750，

%U 197601208474238214218405084173424016181943732414278028611833689478331915607880204415840811417293301014150

%N扩展，例如f.exp（2*（exp（x）-1））。

%贝尔多项式的C值：将n个标记球放入n个未标记（但为2色）的框中的方法。

%C A011971中给出的矩阵exp（P）/exp（1）平方的第一列_Gottfried Helms_，2007年3月30日

%C A011971中的基本矩阵，A078937中的二次幂，A07893中的三次幂，以及A078939中的四次幂_Gottfried Helms_，2007年4月8日

%C等于三角形A144061的行和_Gary W.Adamson_，2008年9月9日

%C等于三角形A109128的特征序列_Gary W.Adamson，2009年4月17日

%汉克尔变换是A108400_Paul Barry，2009年4月29日

%C将n个带标签的球放入一组袋子中，然后将袋子放入2个带标签盒子中的方法数量。下面给出了一个示例_Peter Bala，2013年3月23日

%C n维超立方体的f向量由A038207=exp[M*B（.，2）]=exp[M*A001861（.）]给出，其中M=A238385-I和（B（.、x））^n=B（n，x）是Bell多项式（参见A008277）_汤姆·科普兰，2014年4月17日

%C均值为2.-的泊松分布的矩_Vladimir Reshetnikov，2016年5月17日

%C贝尔数的指数自进化（A000110）_Vladimir Reshetnikov，2016年10月6日

%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

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%H Jacob Sprittulla，<a href=“https://arxiv.org/abs/2008.09984“>关于有色因子分解，arXiv:2008.09984[math.CO]，2020。

%F a（n）=和{k=0..n}2^k*箍筋2（n，k）.-_Emeric Deutsch，2001年10月20日

%F a（n）=exp（-2）*Sum_{k>=1}2^k*k^n/k！.-_Benoit Cloitre_，2003年9月25日

%F G.F.满足2*（x/（1-x））*A（x/；二项变换的两倍等于左移一位的序列_Paul D.Hanna，2003年12月8日

%F PE=exp（matpascal（5）-matid（6））；A=PE^2；a（n）=a[n，1].-_Gottfried Helms_，2007年4月8日

%财务报表：1/（1-2x-2x^2/_Paul Barry，2009年4月29日

%计算公式：和{n>=0}2^n*x^n/产品{k=1..n}（1-k*x）_Paul D.Hanna，2012年2月15日

%F a（n）~exp（-2-n+n/LambertW（n/2））*n^n/LambetW（n/2）^（n+1/2）_瓦茨拉夫·科特索维奇，2013年1月6日

%F G.F.：（G（0）-1）/（x-1）/2，其中G（k）=1-2/（1-k*x）/（1-x/（x-1/G（k+1）））；（连分数）。-_Sergei N.Gladkovskii_，2013年1月16日

%F G.F.：1/Q（0），其中Q（k）=1+x*k-x-x/（1-2*x*（k+1）/Q（k+1；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年3月7日

%F G.F.：（（1+x）/Q（0）-1）/（2*x），其中Q（k）=1-（k+1）*x-2*（k+1）*x^2/Q（k+1）；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年5月3日

%F G.F.：T（0）/（1-2*x），其中T（k）=1-2*x^2*（k+1）/（2*x^2*（k+1）-（1-2*x-x*k）*（1-3*x-x*k）/T（k+1；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年10月24日

%F a（n）=Sum_{k=0..n}A033306（n，k）=Sum _{k=0..n}二项式（n，k）*Bell（k）*Belle（n-k），其中Bell=A000110（见Motzkin，p.170）_Danny Rorabaugh，2015年10月18日

%对于n>0.-，F a（0）=1和a（n）=2*Sum_{k=0..n-1}二项式（n-1，k）*a（k）_Seiichi Manyama_，2017年9月25日【由_Ilya Gutkovskiy_更正，2020年7月12日】

%e a（2）=6：将2个球放入袋子（用{}表示），然后放入2个带标签的盒子（用[]表示）的六种方法如下

%e 01:[{1,2}][]；

%e 02:[][{1,2}]；

%e 03：[{1}][{2}]；

%e 04:[{2}][{1}]；

%e 05:[{1}{2}][]；

%e 06:[][{1}{2}]。

%e-佩特·巴拉，2013年3月23日

%p A001861:=n->添加（箍筋2（n，k）*2^k，k=0..n）；序列号（A001861（n），n=0..20）；#_韦斯利·伊万·赫特，2014年4月18日

%p#第二个Maple程序：

%p b:=proc（n，m）选项记忆；

%p`if`（n=0，2^m，m*b（n-1，m）+b（n-l，m+1））

%p端：

%pa:=n->b（n，0）：

%p序列（a（n），n=0..25）；#_阿洛伊斯·海因茨，2021年8月4日

%t表[总和[StirlingS2[n，k]*2^k，{k，0，n}]，{n，0，21}]（*_Geoffrey Criter_，2009年10月6日*）

%t mx=16；p=1；范围[0，mx]！系数列表[系列[Exp[（Exp[p*x]-p-1）/p+Exp[x]]，{x，0，mx}]，x]（*_Robert G.Wilson v_，2012年12月12日*）

%t表[BellB[n，2]，{n，0，20}]（*_Vaclav Kotesovec_，2013年1月6日*）

%o（PARI）a（n）=如果（n<0,0，n！*polcoeff（exp（2*（exp（x+x*o（x^n））-1）），n））

%o（PARI）{a（n）=polcoeff（总和（m=0，n，2^m*x^m/prod（k=1，m，1-k*x+x*o（x^n）），n）}/*Paul D.Hanna，2012年2月15日*/

%o（PARI）{a（n）=总和（k=0，n，2^k*stirling（n，k，2））}\\_Seiichi Manyama_，2019年7月28日

%o（Sage）expnums（30，2）#_Zerinvary Lajos_，2008年6月26日

%o（岩浆）[&+[2^k*StirlingSecond（n，k）：k in[0..n]]：n in[0..25]]；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2019年5月18日

%Y对于1种颜色的盒子，参见A000110；对于3种颜色，参见A027710；对于4种颜色，则参见A078944；对于5种颜色，请参见A144180；对于6种颜色，见A144223；对于7种颜色，参阅A144263；对于8种颜色，参考A221159。

%Y A078937的第一列。

%Y等于2*A035009（n），n>0。

%A033306、A036073、A049020和A144061的Y行总和。

%Y参见A000110、A000587、A002871、A027710、A056857、A068199、A068200、A068201、A078937、A07893、A078944、A07894、A109128、A129323、A12932、A129352、A129317、A12932.8、A1293.29、A129331、A12933、A129330、A144180、A144223、A144263、A189233、A213170、A221159、A221176。

%不，简单，好

%0、2

%A _N.J.A.Sloane，西蒙·普劳夫_