%I M2040 N0808#268 2023年7月21日15:50:15

%编号：1,21201680302406652801729728051891840017643225600，

%电话：6704425728002815858805760012952950506496064764752532480000，

%电话：34972966367539200002028432049317273600001257627870577067096320000830034394580628357120000058102407620643984998400000

%N四重阶乘数：a（N）=（2n）/不！。

%C计算嵌入平面的二叉根树（出度<=2），n个标记为1度的结束节点。无标签版本给出的加泰罗尼亚语数字为A000108。

%C将“降级”定义为按降序排列排列项的排列。我们关注的是与评级下调相同的排列。只有4n阶和4n+1阶的置换才能有这个性质；具有此性质的长度为4n的置换数与长度为4n+1的置换数相等。如果置换p具有此属性，则此置换的反转也具有此属性。a（n）=长度为4n和4n+1的置换数，与它们的降级数相同尤金·麦克唐纳（eemcd（AT）mac.com），2003年10月26日

%C n+1顶点上的完整图中广播方案的数目，K_{n+1}Calin D.Morosan（cd_moros（AT）校友.concordia.ca），2008年11月28日

%汉克尔变换是A137565_保罗·巴里（Paul Barry），2009年11月25日

%C例如1/a（n）=n的f/（2*n）！是（exp（sqrt（x））+exp（-sqrt（x）））/2_Wolfdieter Lang，2012年1月9日

%C来自Tom Copeland，2014年11月15日：（开始）

%C用中间的零（1,0,2,0,12,0120，…）=a（n）（参见A123023和A001147）充气，例如f.是e^。P（n，x）=（a.+x）^n，其中（a.）^n=a_n，并包含e^（-t^2）e^。

%C等于A000407*2，添加了前导1。（结束）

%C a（n）也是S_{4*n}中任意置换的平方根数，其不相交循环分解由2*n个换位组成_路易斯·曼努埃尔·里维拉·马丁内斯，2015年3月4日

%C自卷积给出A076729_Vladimir Reshetnikov，2016年10月11日

%C对于n>1，根据2013年8月7日的公式，a（n）是Zumkeller数（A083207）_Ivan N.Ianakiev，2017年2月28日

%C对于可被4整除的n，a（n/4）是将n个点放置在具有两两不同横坐标、两两不同纵坐标和90度旋转对称性的n X n网格上的方法数。对于n==1（mod 4），通道数为a（（n-1）/4），因为中心点可以被视为“固定”。180度旋转对称见A006882，镜对称见A000085、A135401和A297708_Manfred Scheucher，2017年12月29日

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%H<a href=“/index/Di#divseq”>可除序列索引</a>

%H<a href=“/index/Par#partN”>相关分区计数序列的索引条目</a>

%例如：（1-4*x）^（-1/2）。

%F a（n）=（2*n）/n！=个产品{k=0..n-1}（4*k+2）。

%F积分表示为正函数在正半轴上的第n个矩，用Maple符号表示：a（n）=int（x^n*exp（-x/4）/（sqrt（x）*2*sqrt（Pi）），x=0.无穷大），n=0，1。这种表述是独一无二的_卡罗尔·彭森，2001年9月18日

%定义a'（1）=1，a'（n）=Sum_{k=1..n-1}a'（n-k）*a'（k）*C（n，k）；则a（n）=a'（n+1）_Benoit Cloitre_，2003年4月27日

%F对于插值零（1，0，2，0，12，…），这有例如F.exp（x^2）。-_保罗·巴里，2003年5月9日

%F a（n）=A000680（n）/A000142（n）*A000079（n）=Product_{i=0..n-1}（4*i+2）=4^n*Pochhammer（1/2，n）=4*GAMMA（n+1/2）/sqrt（Pi）Daniel Dockery（peritus（AT）gmail.com），2003年6月13日

%F有关渐近性，请参阅Robinson论文。

%F a（k）=（2*k）/k！=求和{i=1..k+1}|A008275（i，k+1）|*k^（i-1）.-_AndréF.Labosière，2007年6月21日

%F a（n）=12*A051618（a）n>=2.-_零入侵拉霍斯，2008年2月15日

%F a（n）=A000984（n）*A000142（n）.-_Zerinvary Lajos，2008年3月25日

%F a（n）=A016825（n-1）*a（n-1_罗杰·巴古拉（Roger L.Bagula），2008年9月17日

%F a（n）=（-1）^n*A097388（n）.-D.Morosan（cd_moros（AT）校友.concordia.ca），2008年11月28日

%F From _Paul Barry，2009年1月15日：（开始）

%F G.F.：1/（1-2x/（1-4x/（1-6x/（1-10x/（1-…（连分数）））；

%F a（n）=（n+1）*A000108（n）。（结束）

%F a（n）=和{k=0..n}A132393（n，k）*2^（2n-k）.-_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2009年2月10日

%财务报表：1/（1-2x-8x^2/（1-10x-48x^2/（1-18x-120x^2_保罗·巴里（Paul Barry），2009年11月25日

%当n>0时，F a（n）=A173333（2*n，n）；参见A006963、A001761_Reinhard Zumkeller，2010年2月19日

%F来自_Gary W.Adamson_，2011年7月19日：（开始）

%F a（n）=M^n的左上项，M=无限平方生产矩阵，如下所示：

%F 2，2，0，0，0,0。。。

%F 4、4、4，0、0、0。。。

%六楼、六楼、六楼、六大楼、0楼、0楼。。。

%传真：8、8、8，8、0。。。

%F。。。

%F（结束）

%F a（n）=（-2）^n*和{k=0..n}2^k*s（n+1，n+1-k），其中s（n，k）是第一类斯特林数A048994_Mircea Merca，2012年5月3日

%F G.F.：1/Q（0），其中Q（k）=1+x*（4*k+2）-x*（4*k+4）/Q（k+1）；（连分数）。-_Sergei N.Gladkovskii_，2013年5月18日

%F G.F.：2/G（0），其中G（k）=1+1/（1-x*（8*k+4）/（x*（8*k+4）-1+8*x*（k+1）/G（k+1））；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年5月30日

%F G.F.:G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-2*x/（2*x+1）/G（k+1））；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年6月1日

%带递推的F D-有限：a（n）=（4*n-6）*a（n-2）+（4*n-3）*a（n-1），n>=2.-_Ivan N.Ianakiev，2013年8月7日

%F总和{n>=0}1/a（n）=（exp（1/4）*sqrt（Pi）*erf（1/2）+2）/2=1+A214869，其中erf（x）是误差函数_伊利亚·古特科夫斯基，2016年11月10日

%F求和{n>=0}（-1）^n/a（n）=1-sqrt（Pi）*erfi（1/2）/（2*exp（1/4）），其中erfi_Amiram Eldar，2021年2月20日

%e以下8阶排列及其反转具有此特性：

%e 1 7 3 5 2 4 0 6

%e 1 7 4 2 5 3 0 6

%e 2 3 7 6 1 0 4 5

%e 2 4 7 1 6 0 3 5

%e 3 2 6 7 0 1 5 4

%e 3 5 1 7 0 6 2 4

%p A001813:=n->（2*n）/n！；

%p A001813:=n->mul（k，k=选择（k->k mod 4=2，[$1..4*n]））：序列（A001813（n），n=0..16）；

%p#_Peter Luschny_，2011年6月23日

%t表[（2n）！/n！，{n，0,20}]（*哈维·P·戴尔，2011年5月2日*）

%o（Sage）[范围（0，17）内n的二项式（2*n，n）*阶乘（n）]#_Zerinvary Lajos_，2009年12月3日

%o（PARI）a（n）=二项式（n+n，n）*n！\\_Charles R Greathouse IV，2011年6月15日

%o（PARI）第一（n）=x='x+o（'x^n）；Vec（serlaplace（（1-4*x）^（-1/2）））\\ In Fox，2018年1月1日

%o（Maxima）makelist（二项式（n+n，n）*n！，n、 0.30）；/*_Martin Ettl，2012年11月5日*/

%o（岩浆）[阶乘（2*n）/阶乘（n）：[0..20]]中的n；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2018年10月9日

%o（GAP）列表（[0..20]，n->阶乘（2*n）/阶乘（n））；#_Muniru A Asiru_，2018年11月1日

%o（Python）

%o来自数学导入阶乘

%o def A001813（n）：返回阶乘（n<<1）//阶乘（n）#_Chai Wah Wu_，2023年2月14日

%Y参见A037224、A048854、A001147、A007696、A008545、A122670（基本上是相同的序列）、A000165、A047055、A047657、A084947、A084 948、A08494 9、A010050、A000142、A008275、A000108、A000984、A008 276、A000680、A094216。

%Y加泰罗尼亚语（n-1）*M^（n-1）*n！对于M=1,2,3,4,5,6:A001813、A052714（或A144828）、A221954、A052734、A22195、A2219.55。

%Y参见A123023、A059344、A099174、A066325、A001700、A000407、A006882。

%Y参考A000085、A135401、A297708.-_Manfred Scheucher，2018年1月7日

%不，简单，好

%0、2

%A _N.J.A.斯隆_

%E来自James A.Sellers_的更多条款，2000年5月1日