%I M3444 N1398#376 2024年3月12日15:40:14

%S 0,1,4,12,32,80192448102423045120112642457653248114688，

%电话：2457600524288111411223592964980736104857602202009646137344，

%电话：9646899220132659241943040087241523218119393283758096384778462416106127360332859944

%N a（N）=N*2 ^（N-1）。

%C n维超立方体中的边数。

%C正好包含一个123图案的132个无效排列[n+2]的数目_Emeric Deutsch，2001年7月13日

%C当n>=2时，将n-1个非攻击王放置在2X2（n-1）棋盘上的方法数量Antonio G.Astudillo（afg_Astudillo（AT）hotmail.com），2001年5月22日

%C 2^n的算术导数：a（n）=A003415（A000079（n））_Reinhard Zumkeller，2002年2月26日

%C（-1）乘以矩阵A_{i，j}=-|i-j|，0<=i，j<=n的行列式。

%C a（n）是二进制数1到111…1（n位）中的1的数目。a（n）=A000337（n）-A000337（n-1），n=2,3，….-_Emeric Deutsch，2003年5月24日

%C包含n+1 1且没有零行或零列的2 X n 0-1矩阵的数目。完全二部图K（2，n）的生成树的个数。这是K（m，n）的m=2的情况。参见A072590_W.Edwin Clark，2003年5月27日

%0，1，2，3，4，5，…的C二项式变换，。。。（A001477）。没有初始0，奇数的二项式变换。

%C带有一个额外的前导零[0,0,1,4，…]，这是重复整数A004526的二项式变换。其公式为（2^n*（n-1）+0^n）/4_保罗·巴里，2003年5月20日

%C所有不同（n+1）位整数中的零数_Ralf Stephan，2003年8月2日

%C From _Lekraj Beedassy，2004年6月3日：（开始）

%C求和表（与差分表相反）的最后一个元素，其第一行由整数0到n（或第一个n+1个非负整数A001477）组成；说明n=5的情况：

%C 0 1 2 3 4 5

%丙1 3 5 7 9

%C 4 8 12 16号

%C 12 20 28号

%C 32 48号

%C 80元

%C，最后一个元素是a（5）=80。（结束）

%C该序列和A001871出现在对高度最多为k的有序树进行计数时，其中只有根处最右侧的分支实际达到该高度，并且计数是通过边的数量进行的，对于该序列，k=3，对于A001871，k=4。

%设R是具有n＝|a|个元素的集合a的幂集P（a）上的二元关系，使得对于P（a）的所有元素x，y，xRy，如果x是y的适当子集，并且在P（a）中没有z，使得x是z的适当子集，z是y的适当子集_Ross La Haye_，2004年9月21日

%C同时避免直角编号多个模式（ranpp）（00；1）和（10；1）的2Xn二进制矩阵的数目。矩阵a=（a（i，j））中ranpp（xy；z）的出现是一个三元组（a（i1，j1），a（i2，j2），a_谢尔盖·基塔耶夫，2004年11月11日

%C长度为n+1的所有二进制字中的子序列数00。例如：a（2）=4，因为在0000010100111001011110111中，序列00发生了4次_Emeric Deutsch，2005年4月4日

%如果展开n因子表达式（a+1）*（b+1）**（z+1），结果中有一个（n）变量。例如，三因子表达式（a+1）*（b+1）*，（c+1）展开为abc+ab+ac+bc+a+b+c+1，其中a（3）=12个变量_David W.Wilson_，2005年5月8日

%C n^2的逆Chebyshev变换，其中g（x）->（1/sqrt（1-4*x^2））*g（x*C（x^2_保罗·巴里，2005年5月13日

%C序列A018215和A058962交错_格雷姆·麦克雷，2006年7月12日

%C长度为n且最大值为2*n.的永不减少的正整数序列的数量-本·保罗·瑟斯顿，2006年11月13日

%C一个n元素集的所有子集的总大小。例如，一个2元素集有1个子集大小为0，2个子集大小1，1子集大小为2_Ross La Haye_，2006年12月30日

%C自然数[A000027]和A045623从[0,1,2,5，…]开始的卷积。-_Ross La Haye_，2007年2月3日

%C如果M是矩阵（由行给出）[2,1；0,2]，则序列给出M^n.-Antonio M.Oller-Marcén_中的（1,2）项，2007年5月21日

%C如果X_1、X_2，。。。，X_n是将2n-集X划分为2个块，然后，对于n>0，a（n）等于与每个X_i（i=1,2，…，n）相交的X的（n+1）子集的数目_米兰Janjic_，2007年7月21日

%C三个对象u，v，w的n个置换数，允许重复，只包含一个u。例如：a（2）=4，因为我们有uv，vu，uw和wu_Zerinvary Lajos，2007年12月27日

%C由A（n）=n*[C（1）*…*C（r）]^（n-1）定义的序列族的一个成员；c（i）整数。该序列的c（1）=2，A027471的c（一）=3_Ctibor O.Zizka，2008年2月23日

%C a（n）是将{1,2，…，n-1}拆分为两个（可能是空的）互补区间{1,2…，i}和{i+1，i+2，…，n-1}，然后从每个区间中选择一个子集的方法数_Geoffrey Critzer，2009年1月31日

%C等于Jacobsthal序列A001045与A003945卷积：（1，3，6，12，…）_Gary W.Adamson_，2009年5月23日

%C从偏移量1开始=A059570：（1，2，6，14，34，…）与（1，2,2，2，…）卷积。-_Gary W.Adamson_，2009年5月23日

%C等于A167591的左侧第一列。-_Johannes W.Meijer，2009年11月12日

%C具有n个单体的n×n正方形的榻榻米瓷砖数量为n*2^（n-1）_Frank Ruskey_，2010年9月25日

%C根据_T.D.Noe_的超西格玛函数变体，该序列给出了超西格马（2^n）：a（n）=A191161（A000079（n））_阿隆索·德尔·阿特（Alonso del Arte），2011年11月4日

%C堤坝数量（n+2）-高度为1且没有更高山谷的路径_David Scambler_，2011年11月7日

%C等于三角形A059260*A016777作为向量，其中A016777=（3n+1）：[1，4，7，10，13，…].-_Gary W.Adamson，2012年3月6日

%C自旋为1/2的n粒子系统中的主要跃迁（参见A212697，b=2）_Stanislav Sykora_，2012年5月25日

%C设T（n，k）为三角形，其中（第一列）T（n、1）=2*n-1表示n>=1，否则T_J.M.Bergot，2013年1月17日

%C n的所有成分（有序分区）的所有部分之和。分区的等效序列为A066186.-_Omar E.Pol_，2013年8月28日

%C从a（1）=1开始：2的幂（A000079）自我进化_Bob Selcoe，2015年8月5日

%C多项式p（x）=-（x-x1）*（x-x2）的归一化Schwarzian导数-S{p（x_Tom Copeland_ 2015年11月2日

%C a（n）是从（0,0）到（n+1，n+1）的东北晶格路径数，这些路径在y=x-1以下正好有一个东阶，在y=x+1以上没有东阶。详细信息可以在Pan和Remmel的链接中找到_Ran Pan_，2016年2月3日

%C也是n>0的n-超立方体图中最大和最大团的个数_Eric W.Weisstein_，2017年12月1日

%C设[n]={1,2，…，n}；则a（n-1）是在包含n以形成[n]的适当子集中缺失的元素的总数。例如，对于n=3，a（2）=4，因为[3]中包含3的适当子集是{3}、{1,3}和{2,3}，并且这些子集中缺少的元素总数构成[3]是4:2在第一个子集中，1在第二个子集中，而1在第三个子集中_Enrique Navarrete，2020年8月8日

%C避免模式的n个元素的3次重叠数132，231。见博尼肯和太阳_米歇尔·马库斯，2022年8月19日

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%与切比雪夫多项式相关的序列的索引项</a>

%H<a href=“/index/Rec#order_02”>带常数的线性重复出现的索引条目，签名（4，-4）。

%F a（n）=和{k=1..n}k*二项式（n，k）.-_Benoit Cloitre_，2002年12月6日

%F例如：x*exp（2x）.-_Paul Barry，2003年4月10日

%F.G.F.:x/（1-2*x）^2。

%F.G.F.:x/（1-4*x/（1+x/（1-x）））_Michael Somos，2012年4月7日

%F A108666（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）^2*a（n）.-_Michael Somos，2012年4月7日

%F A053220的PSumSIGN转换。PSumSIGN转换为A045883。二项式变换为A027471（n+1）_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2003年7月10日

%F从a（1）=1开始，INVERT变换为A002450，INVERT变换为A049072，MOBIUS变换为A083413，PSUM变换为A000337，BINOMIAL变换为P081038，BINOLIAL变换的A005408_Michael Somos，2012年4月7日

%F a（n）=2*a（n-1）+2^（n-1。

%F a（2*n）=n*4^n，a（2*n+1）=（2*n+1）4^n。

%F G.F.:x/det（I-x*M），其中M=[1，I；I，1]，I=sqrt（-1）_保罗·巴里（Paul Barry），2005年4月27日

%F启动1、1、4、12。。。这是0^n+n2^（n-1），“对反转”自然数A004442的二项式变换。-_保罗·巴里，2003年7月24日

%F[1，2，4，8，…]与自身的卷积_乔恩·佩里（Jon Perry），2003年8月7日

%这个序列的有符号形式n（-2）^（n-1）是n（-1）^_保罗·巴里，2003年8月20日

%F a（n-1）=（和{k=0..n}2^（n-k-1）*C（n-k，k）*C，（k+1）/2）*（1-（-1）^k）/2）-0^n/4.-_Paul Barry，2004年10月15日

%F a（n）=和{k=0..floor（n/2）}二项式（n，k）（n-2k）^2.-_保罗·巴里，2005年5月13日

%F a（n+2）=A049611（n+2中）-A001788（n）。

%F a（n）=n！*Sum_｛k=0..n｝1/（（k-1）！（n-k）！）.-_保罗·巴里，2003年3月26日

%F a（n+1）=和{k=0..n}4^k*A109466（n，k）.-_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2006年11月13日

%F A130300的行总和从（1、4、12、32…）开始。-_Gary W.Adamson_，2007年5月20日

%F等于三角形A134083的行和。等于A002064（n）+（2^n-1）。-_Gary W.Adamson_，2007年10月7日

%F a（n）=4*a（n-1）-4*a（n-2），a（0）=0，a（1）=1.-_Philippe Deléham，2008年11月16日

%F和{n>0}1/a（n）=2*log（2）_Jaume Oliver Lafont_，2009年2月10日

%F a（n）=A000788（A000225（n））=A173921（A000225n））_Reinhard Zumkeller_，2010年3月4日

%F a（n）=n*A011782（n）.-_Omar E.Pol_，2013年8月28日

%F a（n-1）=和{t1+2*t2+…+n*tn=n}（t1+t2+…+t_n-1）*多项式（t1+t_2+…+tn，t1，t2，…，t_n）_Mircea Merca，2013年12月6日

%F a（n+1）=和{r=0..n}（2*r+1）*C（n，r）.-_J.M.Bergot，2014年4月7日

%F a（n）=A007283（n）*n/6.-_Enxhell Luzhenica，2016年4月16日

%F a（n）=（A000225（n）+A000337（n））/2.-_安东·扎哈罗夫（Anton Zakharov），2016年9月17日

%F Sum_｛n>0｝（-1）^（n+1）/a（n）=2*log（3/2）=2*A016578。-_伊利亚·古特科夫斯基，2016年9月17日

%F a（n）=和{k=0..n-1}和{i=0..n-1}（i+1）*C（k，i）.-_韦斯利·伊万·赫特，2017年9月21日

%F a（n）=和{i=1..n}和{j=1..n{φ（i）*二项式（n，i*j）.-_Ridouane Oudra，2024年2月17日

%2314以来的ea（2）=4，23413124和4123是1234中唯一的132个无效置换，其中正好包含一个长度为3的递增子序列。

%电子x+4*x^2+12*x^3+32*x^4+80*x^5+192*x^6+448*x^7+。。。

%e a（5）=1*0+5*1+10*2+10*3+5*4+1*5=80，其中1,5,10,10,5,1是帕斯卡三角形的第五行_J.M.Bergot，2014年4月29日

%p规范：=[S，{B=集合（Z，0<=卡），S=生产（Z，B，B）}，标记]：seq（组合结构[计数]（规范，大小=n），n=0..29）；#_Zerinvary Lajos，2006年10月9日

%p A001787:=1/（2*z-1）^2；#_西蒙·普劳夫（Simon Plouffe）在1992年的论文中，去掉了最初的零

%t表[总和[二项式[n，i]i，{i，0，n}]，{n，0，30}]（*_Geoffrey Criter_，2009年3月18日*）

%t f[n]：=n 2^（n-1）；f[范围[0，40]]（*_Vladimir Joseph Stephan Orlovsky_，2011年2月9日*）

%t数组[#2^（#-1）&，40，0]（*哈维·P·戴尔，2011年7月26日*）

%t加入[{0}，表[n2^（n-1），{n，20}]]（*_Eric W.Weisstein_，2017年12月1日*）

%t加入[{0}，线性递归[{4，-4}，{1，4}，20]]（*_Eric W.Weisstein_，2017年12月1日*）

%t系数表[系列[x/（-1+2x）^2，{x，0，20}]，x]（*_Eric W.Weisstein_，2017年12月1日*）

%o（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n*2^（n-1））}

%o（哈斯克尔）

%o a001787 n=n*2^（n-1）

%o a001787_list=zipWith（*）[0..]$0:a000079_list

%o---Reinhard Zumkeller，2014年7月11日

%o（PARI）concat（0，Vec（x/（1-2*x）^2+o（x^50）））\\阿尔图·阿坎，2015年11月3日

%o（岩浆）[0..40]]中的[n*2^（n-1）：n；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2016年2月4日

%o（Python）

%o def A001787（n）：如果n为0，则返回n*（1<<n-1）#_Chai Wah Wu_，2022年11月14日

%Y其他三个版本基本相同，分别是A085750、A097067、A118442。

%Y A001792的部分总和。

%Y A058922（n+1）=4*A001787（n）。

%Y等于A090802（n，1）。

%Y列k=1，共A038207列。

%A003506、A322427、A322428的Y行总和。

%Y参见A053109、A001788、A001799、A000337、A130300、A134083、A002064、A027471、A003945、A059670、A167591、A059260、A016777、A212697、A000079、A263646。

%不，简单，好

%0、3

%A _N.J.A.斯隆_