%I M4861 N2077#63 2020年6月26日11:13:37

%S 1,121191175121541339381580508199783082700740163894932448，

%电话：5976016819297275162816016752851775360304473528961920，

%电话：582546074553216011770467915075840246591064037120005433691774672720001250216389189281024000

%N广义斯特林数。

%C高阶指数积分E（x，m=3，n=3）~exp（-x）/x^3*（1-12/x+119/x^2-1175/x^3+12154/x^4-133938/x^5+…）的渐近展开导致了上面给出的序列。有关更多信息，请参阅A163931和A163932_Johannes W.Meijer_，2009年10月20日

%C From_Petros Hadjicostas_，2020年6月11日：（开始）

%C对于非负整数n，m和复数a，b（b≤0），米特里诺维奇（1961）引入了数字R_n^m（a，b），使用了稍微不同的符号。米特里诺维奇和米特里诺奇（1962）对其进行了进一步检查。

%这些数字是通过g.f.Product_{r=0..n-1}（x-（a+b*r））=Sum_{m=0..n}r_n^m（a，b）*x^m定义的，当n>=0时。

%C因此，R_n^m（a，b）=R_{n-1}^{m-1}（a，b）-（a+b*（n-1）

%对于a=0和b=1，我们得到了第一类Stirling数S1（n，m）=R_n^m（a=0，b=1）=A048994（n，m）。（数组A008275与数组A048994相同，但没有零行和零列。）

%对于n>=m>=0，我们有R_n^m（a，b）=Sum_{k=0}^{n-m}（-1）^k*a^k*b^（n-m-k）*二项式（m+k，k）*S1（n，m+k）。

%对于当前序列，对于n>=0，a（n）=R{n+2}^2（a=-3，b=-1）。（结束）

%D N.J.A.斯隆，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H T.D.Noe，n表，n=0..100的a（n）</a>

%H Matt Davis，<a href=“http://arxiv.org/abs/1412.0345“>象限标记网格模式和r-斯特林数，arXiv预印本arXiv:1412.0345[math.CO]，2014。

%H Matt Davis，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL18/Davis/davis3.html“>象限标记网格模式和r-Stirling数，J.Int.Seq.18（2015），#15.10.1。

%谢尔盖·基塔耶夫和杰弗里·雷梅尔，<a href=“http://arxiv.org/abs/201.1323“>简单标记网格图案，arXiv预打印arXiv:1201.12323[math.CO]，2012。

%谢尔盖·基塔耶夫和杰弗里·雷梅尔，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Kitaev/kitaev5.html“>象限标记网格模式，J.Int.Seq.15（2012），#12.4.7。

%H D.S.Mitrinovic，<a href=“https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k762d/f996.image.r=1961%20mitrinovic“>《Stirling科学图书馆》，巴黎科学院，第252卷（1961年），第2354-2356页。[引入了数字R_n^m（a，b）。]

%H D.S.Mitrinovic和M.S.Mitrinovic，<a href=“http://pefmath2.etf.rs/files/47/77.pdf“>表aux d'une class e de nombres relisés aux nombres-de Stirling</a>贝尔格莱德大学，电子出版物，传真，Ser.Mat.Fiz.No.77（1962），1-77。

%H D.S.Mitrinovic和R.S.Mitrinovic，<a href=“https://www.jstor.org/stable/43667130“>表aux d'une class e de nombres relisés aux nombres-de Stirling</a>，贝尔格莱德大学，电子出版，传真，Ser.Mat.Fiz.，第77号（1962年），1-77[jstor稳定版]。

%H Robert E.Moritz，关于n个连续整数乘积的和，华盛顿大学数学出版社。，第1期（1926年第3期），第44-49页。[带注释的扫描副本]

%F a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n+k）*二项式（k+2，2）*3^k*斯特林1（n+2，k+2）.-2004年1月26日，Borislav Crstici公司

%例如：（1-7*log（1-x）+6*log_Vladeta Jovovic_，2004年3月1日

%F如果我们定义F（n，i，a）=Sum_{k=0..n-i}二项式（n，k）*Stirling1（n-k，i）*Product_{j=0..k-1}（-a-j），则a（n-2）=|F（n，2，3）|，对于n>=2。[_Milan Janjic_，2008年12月21日]

%F猜想：a（n）+3*（-n-3）*a（n-1）+（3*n^2+15*n+19）*a_R.J.Mathar，2018年6月9日

%F From _Petros Hadjicostas，2020年6月11日：（开始）

%F a（n）=[x^2]乘积{r=0}^{n+1}（x+3+r）=（乘积{r=0}^{n+1}（r+3））*和{0<=i<j<=n+1}1/（（3+i）*（3+j））。

%F由于a（n）=R{n+2}^2（a=-3，b=-1）和A001711（n）=R{n+1}^1（a=-3,b=-1

%对于n>=1，F（i）a（n）=A001711（n）+（n+4）*a（n-1）。

%F（ii）a（n）=（n+2）/当n>=2时，2+（2*n+7）*a（n-1）-（n+3）^2*a（n-2）。

%F（iii）上述R.J.Mathar的复发。（结束）

%p A001712:=程序（n）

%p加（（-1）^（n+k）*二项式（k+2，2）*3^k*斯特林1（n+2，k+2），k=0..n）；

%p端程序：

%p序列（A001712（n），n=0..10）；#_R.J.Mathar，2018年6月9日

%t nn=22；t=范围[0，nn]！系数列表[级数[Log[1-x]^2/（2*（1-x）^3），{x，0，nn}]，x]；Drop[t，2]（*t.D.Noe_，2012年8月9日*）

%o（PARI）a（n）=总和（k=0，n，（-1）^（n+k）*二项式（k+2，2）*3^k*stirling（n+2，k+2,1））\\米歇尔·马库斯，2016年1月20日

%o（PARI）b（n）=产品（r=0，n+1，r+3）；

%o c（n）=总和（i=0，n+1，总和（j=i+1，n+1、1/（（3+i）*（3+j）））；

%o（n=0，18，print1（b（n）*c（n），“，”）\\_Petros Hadjicostas_，2020年6月11日

%Y参见A001711、A008275、A048994、A163931、A16393。

%K nonn公司

%0、2

%A _N.J.A.斯隆_

%E更多来自Borislav Crstici（bcrstici（AT）etv.utt.ro）的术语，2004年1月26日