%I M2908 N1169#233 2024年9月4日11:05:14

%第1、1、3、1、5、73612763246112507372873041365815235132343611页，

%电话：78280534171295707249212309644635483410959165011898621108880097，

%电话：1945071863571600144577763606346064310784052561125704811274613643571568682773426279596576406281

%N广义Euler数或Springer数。

%C From _Peter Bala，2011年2月2日：（开始）

%C斯普林格数最初由格拉舍考虑（见参考文献）。它们是符号置换组的锯齿形数A000111的B类模拟。

%C综合解释

%C已知Springer数的几种组合解释：

%C 1）a（n）给出了n维立方体对称性的Coxeter群B_n的主Springer锥中的Weyl腔数。一个例子可以在[Arnold-蛇的微积分…]中找到。

%C 2）阿诺德发现了另一种用蛇来解释斯普林格数的组合方法。蛇是交替排列到符号排列组的推广。有符号置换是一个整数序列（x_1，x_2，…，x_n），例如{|x_1|，|x_2|，…，|x_n|}={1,2，…，n}。它们形成一个群，即2^n*n！=级的超八面体群A000165（n），与n维立方体的对称群同构。B_n型蛇是一个有符号置换（x_1，x_2，…，x_n），使得0<x_1>x_2。。。例如，（3，-4，-2，-5,1，-6）是B_6类型的蛇。a（n）给出了B_n[Arnold]型蛇的数量。下面的示例部分给出了n=2和n=3的情况。

%C 3）Springer数也出现在函数临界点的研究中；他们计算临界值为2*n的奇函数的拓扑类型[Arnold，定理35]。

%C 4）设F_n为满足以下条件的平根林集：

%C。。。每个根正好有一个子节点，其他每个内部节点正好有两个（有序的）子节点，

%C。。。有n个节点用从1到n的整数标记，但有些叶子可以是非标记的（这些叶子称为空叶子），标签从每个根一直增加到叶子。那么a（n）等于F_n的基数。[Verges，定理4.5]中给出了一个例子和证明。

%C春季数字的其他外观

%C 1）霍夫曼给出了Springer数、snakes数和正割函数和正切函数的连续导数之间的联系。

%C2）对于整数N，四分之一高斯和Q（N）定义为。。。Q（N）：=总和{r=0..floor（N/4）}经验（2*Pi*I*r^2/N）。在N=1（mod4）和N=3（mod 4）的情况下，Evans等人给出了Q（N）作为N->inf的涉及Springer数的渐近级数，见1.32和1.33。

%C有关Springer数的多项式序列，请参见A185417。有关递归计算Springer数的表格，请参见A185418。

%C（结束）

%C类似于符号欧拉数A122045是欧拉多项式值1/2的2^n倍的方式，广义符号欧拉数A188458可以被视为广义欧拉多项式的值1/2的2 ^n倍。这些是瑞士刀多项式A153641。A081658中给出了这些多项式的递归定义_Peter Luschny_，2012年7月19日

%C a（n）是[2n]的反向互补上下排列的数目。例如，向上向下排列241635是反向补码，因为它的补码是536142，这与它的反向相同，并且a（2）=3表示1324、2413、3412_David Callan，2012年11月29日

%C a（n）=|2^n G（n，1/2；-1）|，从A046802的格拉斯曼多项式G（n、0；t）出发，G（n；x；t）=（G（.，0；t_Tom Copeland，2015年10月14日

%C以荷兰数学家托尼·阿尔伯特·斯普林格（1926-2011）的名字命名为“斯普林格数”_Amiram Eldar，2021年6月13日

%D V.I.Arnold，Springer数和变形空间。J.代数几何。，第1卷，第2期（1992年），第197-214页。

%D J.W.L.Glaisher，“关于cos x/cos 2x和sin x/cos 2 x展开式中的系数”，夸脱。纯数学与应用数学杂志。，第45卷（1914年），第187-222页。

%D J.W.L.Glaisher，《关于伯努利函数》，Q.J.Pure Appl。数学。，第29卷（1898年），第1-168页。

%D Ulrike Sattler，具有良好闭包性质的形式幂级数的可判定类，Diplomarbeit im Fach Informatik，爱尔兰根-纽伦堡大学，1994年7月27日。

%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%D Tonny Albert Springer，关于组合问题的评论，Nieuw Arch。威斯克。，第19卷，第3期（1971年），第30-36页。

%H T.D.Noe，n表，n=0..100的a（n）</a>

%H Vladimir Igorevich Arnol’d，<a href=“http://mi.mananet.ru/eng/umn4470“>蛇的微积分与Coxeter群的Bernoulli数、Euler数和Springer数的组合http://iopscience.iop.org/article/10.1070/RM1992v047n01ABEH000861/pdf“>英语版，《俄语数学调查》，第47卷（1992年），第1-51页。

%H Marilena Barnabei、Flavio Bonetti、NiccolóCastronovo和Matteo Silinbani，<a href=“https://doi.org/10.26493/1855-3974.1679.ad3网址“>上升运行在排列和有值Dyck路径中</a>，《当代数学》，第16卷，第2期（2019年），第445-463页。

%H Paul Barry，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Barry3/barry84r2.html“>关于循环函数定义的三组正交多项式及其矩序列的注释，整数序列杂志，第15卷（2012年），第12.7.2条。

%H Paul Barry，<a href=“https://arxiv.org/abs/11802.03443“>关于Riordan矩序列的变换，arXiv:1802.03443[math.CO]，2018。

%H William Y.C.Chen、Neil J.Y.Fan和Jeffrey Y.T.Jia，<a href=“http://arxiv.org/abs/1009.2233“>标签选票路径和斯普林格数字，arXiv:1009.2233[math.CO]，2010年9月12日。【摘自Jonathan Vos Post，2010年9月13日】

%H Suyoung Choi、Boram公园和Hanchul公园，<a href=“http://arxiv.org/abs/1602.05406“>B型Weyl腔相关实复曲面品种的Betti数，arXiv预印本arXiv:1602.05406[math.AT]，2016。

%H Chak-On Chow和Shi-Mei Ma，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.disc.2014.01.015“>通过交替运行计算有符号排列，《离散数学》，第323卷（2014年5月28日），第49-57页。

%H D.Dumont，<a href=“http://dx.doi.org/10.1006/aama.1995.1014“>Seidel-Arnold型的其他三角形和与Euler和Springer数相关的连分数</a>高级应用数学，第16卷，第3期（1995年），第275-296页。

%H Ronald Evans、Marvin Minei和Bennet Yee，<a href=“http://math.ucsd.edu/~revans/IncompleteGaussSums.pdf“>不完全高阶高斯和</a>，《数学与分析应用杂志》，第281卷，第2期（2003年），第454-476页。见1.32和1.33。

%H Dominique Foata和Guo-Niu Han，<a href=“https://arxiv.org/abs/1304.2486“>多元正切和正割q导数多项式</a>，arXiv:1304.2486[math.CO]，2013；<a href=”网址：http://www-irma.u-strasbg.fr/~foata/paper/pub119deriver.pdf“>备选链接</a>。

%H J.W.L.Glaisher，<a href=“https://doi.org/10.1112/plms/s1-3.1.216“>关于一组类似于欧拉数的系数，《伦敦数学学会学报》，31（1899），216-235。

%H Tian Han、Sergey Kitaev和Philip B.Zhang，<a href=“https://arxiv.org/abs/2408.12865“>交替排列、Springer数和避免平坦POPs的最大和最小统计分布，arXiv:2408.12865[math.CO]，2024。见第2页。

%H Christopher R.H.Hanusa、Alejandro H.Morales和Martha Yip，<a href=“https://arxiv.org/abs/2107.07326“>列凸矩阵、G-循环序和流多面体</a>，arXiv:2107.07326[math.CO]，2021。

%H Michael E.Hoffman，<a href=“https://doi.org/10.37236/1453“>导数多项式、欧拉多项式和相关整数序列，《组合数学电子杂志》，第6卷（1999年），#R21（见Th.3.1）。

%H Matthieu Josuat-Vergès，<a href=“http://arxiv.org/abs/1011.0929“>蛇的计数和循环交替排列</a>，arXiv:1011.0929[math.CO]，2010。

%H Matthieu Josuat-Vergès、J.-C.Novelli和J.-Y.Thibon，<a href=“网址：http://arxiv.org/abs/1110.5272“>蛇的代数组合学</a>，arXiv预印本arXiv:1110.5272[math.CO]，2011。

%H Emanuele Munarini，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL26/Munarini/muna25.html“>q-Appell多项式的双参数恒等式</a>，整数序列杂志，第26卷（2023年），第23.3.1条。

%H Igor Pak和Andrew Soffer，<a href=“http://arxiv.org/abs/1507.00411“>关于Higman的k（U_n（F_q））猜想，arXiv预印本arXiv:1507.00411[math.CO]，2015。

%H Daniel Shanks，《广义Euler和类号数学》。公司。，第21卷，第100号（1967年），第689-694页；第22卷，第103号（1968年），第699页。[带注释的扫描副本]

%H Daniel Shanks，<a href=“http://dx.doi.org/10.1090/S0025-5718-1967-0223295-5“>《广义欧拉与类号》，《数学比较》，第21卷，第100号（1967年），第689-694页。

%H Daniel Shanks，<a href=“http://dx.doi.org/10.1090/S0025-5718-1968-0227093-9“>更正：“广义欧拉和类数”，《数学比较》22，第103号（1968年），第699页。

%H Alan D.Sokal，<a href=“https://arxiv.org/abs/1804.04498“>Euler和Springer数字作为矩序列</a>，arXiv:1804.04498[math.CO]，2018。

%孙志宏，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.disc.2007.03.038“>涉及伯努利多项式的同余，《离散数学》，第308卷，第1期（2007年），第71-112页。

%孙志伟，涉及数列的猜想，《数论：香格里拉的算术》（编辑：S.Kanemitsu，H.Z.Li和J.Y.Liu），Proc。第六届中日学期数理论（上海，2011年8月15日至17日），世界科学。，新加坡，2013年，第244-258页；请参见<a href=“http://arxiv.org/abs/1208.2683“>涉及组合序列的猜想，arXiv预印本arXiv:1208.2683[math.CO]，2012。

%H M.S.Tokmachev，<a href=“https://vestnik.susu.ru/mmph/article/viewFile/8337/6806“>数字棱镜中元素和序列之间的相关性，《南乌拉尔州立大学公报》，《数学、力学、物理学》，第11卷，第1期（2019年），第24-33页。

%H Andrei Vieru，<a href=“http://arxiv.org/abs/107.2938“>Agoh猜想：它的证明，它的推广，它的类似物</a>，arXiv预印本arXiv:1107.2938[math.NT]，2011。

%F例如：1/（cos（x）-sin（x））。

%F A104035中定义的多项式Q_n（）1的值_N.J.A.Sloane，2009年11月6日

%F a（n）=abs分子（Euler（n，1/4））_N.J.A.Sloane，2009年11月7日

%F设B_n（x）=和{k=0..n*（n-1）/2}B（n，k）*x^k，其中B（n、k）是具有k个弧的n节点无环有向图的个数，参见A081064；则a（n）=|B_n（-2）|.-_Vladeta Jovovic_，2005年1月25日

%F G.F.A（x）=y满足y'^2=2y^4-y^2，y''y=y^2+2y'^2_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2004年2月3日

%F a（n）=（-1）^楼层（n/2）和{k=0..n}2^k C（n，k）Euler（k）.-_Peter Luschny_，2009年7月8日

%F From _Peter Bala，2011年2月2日：（开始）

%F（1）。。。a（n）=（（1+i）/2）^n*B（n，（1-i）/（1+i）），其中i=sqrt（-1）和{B（n、x）}n>=0=[1，1+x，1+6*x+x^2，1+23*x+23+x^3，…]是B型欧拉多项式的序列-见A060187。

%F这得出了显式公式

%F（2）。。。a（n）=（（1+i）/2）^n*和{k=0..n}（（1-i）/（1+i））^k*和{j=0..k}（-1）^（k-j）*二项式（n+1，k-j）x（2*j+1）^n。

%结果（2）可以用来寻找斯普林格数所满足的同余。例如，对于奇素数p

%F（3）

%F。。。当p=4*n+1时，a（p）=1（mod p）

%F。。。当p=4*n+3时，a（p）=-1（mod p）。

%F（结束）

%F例如：1/Q（0），其中Q（k）=1-x/（（2k+1）-x*（2k+1）/（x+（2k+2）/Q（k+1））；（续分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2011年11月19日

%F例如：2/U（0），其中U（k）=1+1/（1+x/（2*k+1-x-（2*k+1）/（2-x/（x+（2*k+2）/U（k+1））））；（连分数，5步）_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2012年9月24日

%例如：1/g（0），其中g（k）=1-x/（4*k+1-x*（4*k+1）/（4*k+2+x+x*（4*k+2）/；（连分数，第3类，5步）_Sergei N.Gladkovskii_，2012年10月2日

%F G.F.：1/G（0），其中G（k）=1-x*（2*k+1）-2*x^2*（k+1）*（k+1）/G（k+1；（续分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年1月11日

%F a（n）=|2*4^n*lerchphi（-1，-n，1/4）|.-_Peter Luschny_，2013年4月27日

%F a（n）~4*n^（n+1/2）*（4/Pi）^n/（sqrt（Pi）*exp（n））_瓦茨拉夫·科特索维奇，2013年10月7日

%F G.F.：T（0）/（1-x），其中T（k）=1-2*x^2*（k+1）^2/（2*x^2*（k+1）^2-（1-x-2*x*k）*（1-3*x-2*x*k）/T（k+1；（续分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年10月15日

%F a（n）=（-1）^C（n+1,2）*2^（3*n+1）*（Zeta（-n，1/8）-Zeta（-n，5/8）），其中Zeta（a，z）是广义黎曼Zeta函数_Peter Luschny_，2015年3月11日

%F例如，A（x）满足：A（x_Paul D.Hanna，2017年2月4日

%F例如，A（x）满足：A'（x）=A（x）^2/A（-x）_Paul D.Hanna，2017年2月4日

%e示例

%e a（2）=3:B_2型的三条蛇是

%e（1，-2），（2,1），（2，-1）。

%e a（3）=11:B_3型的11条蛇是

%e（1，-2,3），（1，-3,2），（1,-3，-2），

%e（2,1,3），（2，-1,3），

%e（3，1，2），（3，-1,2）。

%p a：=进程（n）局部k；（-1）^iquo（n，2）*add（2^k*二项式（n，k）*euler（k），k=0..n）end；#_Peter Luschny_，2009年7月8日

%p a:=n->（-1）^（n+iqoo（n，2））*2^（3*n+1）*（Zeta（0，-n，1/8）-Zeta（0，-n，5/8））：

%p序列（a（n），n=0..21）；#_Peter Luschny_，2015年3月11日

%t n=21；系数表[系列[1/（Cos[x]-Sin[x]），{x，0，n}]，x]*表[k！，{k，0，n}]（*_Jean-François Alcover_，2011年5月18日*）

%t表[Abs[Numerator[EulerE[n，1/4]]，{n，0,35}]（*哈维·P·戴尔，2011年5月18日*）

%o（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n！*polcoeff（1/（cos（x+x*o（x^n））-sin（x+x*o（x^n），n））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2004年2月3日*/

%o（PARI）{a（n）=my（an）；如果（n<2，n>=0，an=向量（n+1，m，1）；对于（m=2，n，an[m+1]=2*an[m]+an[m-1]+和（k=0，m-3，二项式（m-2，k）*（an[k+1]*an[m-1-k]+2*an[k+2]*an[m-k]-an[k+3]*an（m-1-k]））；an[n+1]）}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2004年2月3日*/

%o（PARI）/*彼得·巴拉的显式公式：*/

%o{a（n）=（（1+I）/2）^n*和（k=0，n，（1-I）/（1+1））^k*和（j=0，k，（-1）^（k-j）*二项式（n+1，k-j）x（2*j+1）^n）}

%o（鼠尾草）

%o缓存函数

%o定义p（n，x）：

%o如果n==0：返回1

%o w=-1，如果n%2==0，否则0

%o v=1，如果n%2==0，否则-1

%o返回v*add（p（k，0）*二项式（n，k）*（x^（n-k）+w），对于范围（n）[：：2]中的k）

%o定义A001586（n）：返回abs（2^n*p（n，1/2））

%o[A001586（n）代表n in（0..21）]#_Peter Luschny_，2012年7月19日

%Y参考A007836、A079858、A185417、A18541、A212435。

%Y二分法为A000281和A000464。A349264概述。

%A098432、A081658和A153641中给出了Y相关多项式。

%Y参考A046802。

%不，简单，好

%0、3

%A _N.J.A.斯隆_

%E更多条款摘自2005年1月25日的《_Vladeta Jovovic》