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总求和函数

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总计摘要函数

这个求和函数 Phi（n）的指向函数 φ（n）由定义

Phi（n）=总和（k=1）^（n）φ（k）
(1)
=sum_（m=1）^（n）msum_（d|m）（mu（d））/d
(2)
=sum_（d=1）^（n）mu（d）sum_（d^'=1）^（|_n/d|）d^'
(3)
=1/2sum_（d=1）^（n）mu（d）|_n/d|1+|_n/d|）
(4)

（哈代和赖特1979年，第268页），绘制为上面的红色曲线。的第一个值Phi（n）是1、2、4、6、10、12、18、22、28。。。（组织环境信息系统A002088号).

Phi（n）具有渐近级数

功率因数（x）∼1/（2zeta（2））x^2+O（xlnx）
(5)
∼3/（pi^2）x^2+O（xlnx），
(6)

哪里泽塔（z）是黎曼-泽塔函数（佩罗1881；纳格尔1951年，第131页；哈代和赖特1979年，第268页；蓝色曲线）。根据Walfisz（1963）给出了一个改进的渐近估计

Phi（x）～（3x^2）/（pi^2）+O[x（lnx）^（2/3）（lnx，^（4/3）]。
(7)
总方向反求和

考虑一下求和函数属于1/φ（n）,

S（N）=总和_（N=1）^N1/（φ（N）），
(8)

绘制为上面的红色曲线。对于N=1, 2, ..., 前几个术语是1、2、5/2、3、13/4、15/4，47/12, 25/6, ... （组织环境信息系统A028415号和A048049型).总和发散为N->输入，但Landau（1900）表明由给定

S（N）～A（γ+lnN）+B+O（（lnN）/N），
(9)

哪里伽马射线是Euler-Mascheroni常数,

A类=sum_（k=1）^（infty）（[亩（k）]^2）/（kphi（k））
(10)
=（zeta（2）zeta（3））
(11)
=（315）/（2pi^4）zeta（3）
(12)
=1.9435964368...
(13)
B类=sum_（k=1）^（infty）（[亩（k）]^2lnk）/（kphi（k））
(14)
=1.18244...
(15)

（组织环境信息系统A082695美元),亩（k）是莫比乌斯函数,泽塔（z）是黎曼-泽塔函数、和p_k（磅）是k个th prime（Landau 1900；Halberstam and Richert 1974，第110-111页；DeKoninck和Ivić1980，第1-3页；芬奇2003年，第116页；哈维尔2003年，第115页；迪克森2005）。

A类和B类也可以写成

A类=产品_（k=1）^（infty）（1-p_k^（-6））
(16)
=产品_（k=1）^（infty）[1+1/（p_k（p_k-1））]
(17)

和

B类=4月产品_（k=1）^（infty）（lnp_k）/（p_k^2-p_k+1）
(18)
=（315）/（2pi^4）zeta（3）product_（k=1）^（infty）（lnp_k）/（p_k^2-p_k+1），
(19)

分别使这些常数的形式类似于阿廷的常数（芬奇2003年，第116-117页）。

总额

C_（倾斜）=总和（n=1）^（infty）1/（nphi（n））
(20)
=zeta（2）乘积（p）[1+1/（p^2（p-1））]
(21)
=2.20386...
(22)

（组织环境信息系统A118262号)有时被称为totiten常数（Niklasch），其中

产品_（p）[1+1/（p^2（p-1））]=1.33978。。。
(23)

（组织环境信息系统A065483号)产品被取代了素数第页.

另请参见

主要产品,托蒂恩功能,总配价函数

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工具书类

DeKoninck，J.-M.和Ivić，A。算术函数主题：算术倒数和的渐近公式函数和相关字段。荷兰阿姆斯特丹：北荷兰，1980年。迪克森，路易斯安那州。历史《数论》第1卷：可除性和素数。纽约：多佛，第113-158页，2005年。芬奇，S.R。“Euler Totient常量。“§2.7英寸数学常量。英国剑桥：剑桥大学出版社，第115-119页，2003Halberstam，H.和Richert，H.-E。筛网方法。纽约：学术出版社，1974年。G.H.哈代。和E.M.赖特。“平均订单φ（n）”§18.5英寸安数字理论导论，第5版。英国牛津：克拉伦登出版社，第268-269页，1979年。哈维尔，J。伽马射线：探索欧拉常数。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社，2003年。朗道，E.“U-ber die zahlentheoretische函数φ（n）和Beziehung zum Goldbachschen Satz。"纳克里斯。Königlichen Ges公司。威斯。哥廷根，数学-物理。克拉斯, 177-186, 1900.沃克，第1卷（编辑L.Mirsky，I.J.Schoenberg，W.Schwarz，和H.Wefelscheid）。Thales Verlag，第106-115页，1983年。米特里诺维奇，D.S.公司。和S.ándor，J.§I.27手册数论。荷兰多德雷赫特：Kluwer，1995年。纳格尔，T.“相对素数。欧拉φ-功能。“§8 in介绍数字理论。纽约：Wiley，第23-26页，1951年。尼古拉什，G.“一些数字理论常数”http://www.gn-50uma.de/alula/essays/Moree/Moree.en.shtml.佩罗，J.1811年。引用于Dickson，L.E。历史《数论》第1卷：可除性和素数。纽约：多佛，第126页，2005年。新泽西州斯隆。答：。序列A028415号,A048049型,A065483号,A082695号,A085609型,A098468号、和A118262号在“整数序列在线百科全书”中斯蒂芬斯，P.J.公司。二阶线性递归的素因子IJ。编号Th。 8, 313-332, 1976.Walfisz，A.Ch.5英寸Weyl’sche公司neueren Zahlenthorie中的指数总和。柏林：Deutscher Verlag derWissenschaften，1963年。

参考Wolfram | Alpha

总求和函数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“总和函数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/TotientSummatoryFunction.html

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