Pi连分式

这个单连分式对于圆周率由[3；7，15，1，292，1，1，2，1、3，1，14，2，1, 1, 2, 2, 2, 2, ...] （OEIS）A001203号)。情节表示为二进制序列的连分数的前256项位如上所示。

最初的几个收敛是3、22/7、333/106、355/113、103993/33102、104348/33215。。。（OEIS）A002485型和A002486号)，好到0、2、4、6，9, 9, 9, 10, 11, 11, 12, 13, ... （OEIS）A114526号)十进制数字。

非常大的术语292意味着收敛的

(1)

是天文学家Tsu Chung Chih在公元五世纪首次发现的一个非常好的近似值，精确到小数点后六位（Gardner 1966，第91-102页）。第三次收敛的一个很好的表达式由提供

(2)

（斯托切克）。

这个恩格尔扩张属于是1,1,8,8,17,19,300，1991，2492。。。（OEIS）A006784号).

下表总结了pi连分式的一些记录计算。

条款	日期	参考
	1977	W.高斯珀（Gosper 1977，Ball and Coxeter 1987）
	1999年6月	H.哈弗曼（普劳夫）
	2002年3月	H.哈弗曼（比克福德）
	2010年10月	N.Bickford（Bickford2010，Wolfram Blog Team 2011）
	2010年12月	东-西。魏斯坦
	2011年9月16日	东-西。魏斯坦
	9月17日，2011	东-西。魏斯坦
	9月18日，2011	东-西。魏斯坦
	7月18日，2013	东-西。韦斯坦
	7月27日，2013	东-西。魏斯坦

第一次出现的位置, 2, ... 连分式中为3、8、0、29、39、31、，1, 43, 129, 99, ... （OEIS）A225802型)。最小的第一个中没有出现的整数条款是49004、50471、53486、56315。。。（E.Weisstein，2013年7月27日）。中递增项的顺序继续的分数是3、7、15、292、436、20776、78629、179136、528210、12996958、878783625、，5408240597, 5916686112, 9448623833, ... （OEIS）A033089号),发生在位置1、2、3、5、308、432、28422、156382、267314、453294、11504931…（OEIS）A033090型).

让表示让收敛的分母表示,,...,.然后上面的曲线图显示了,,，似乎收敛到钦钦的常数（左图）和，似乎收敛到勒维常数（右图），尽管这些限制都没有严格已建立。

下表列出了-数字术语继续的分数属于,将3计数为0（例如，Choong等。1971年，比勒等。1972).

	OEIS公司	条款/位置
1	A048292号	3, 7, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 2, ...
	A048293号	0, 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, ...
2	A048294号	15, 14, 84, 15, 13, 99, 12, 16, 45, 22, ...
	A048955号	2, 12, 21, 25, 27, 33, 54, 77, 80, 82, ...
三	A048956号	292, 161, 120, 127, 436, 106, 141, ...
	A048957号	4,79, 196, 222, 307, 601, 669, 725, ...
4	A048958美元	1722,2159, 8277, 1431, 1282, 2050, ...
	A048959号	3273, 3777, 3811,4019, 4700, 6209, ...
5	A048960型	20776, 19055, 19308,7862917538。。。
	A048961号	431, 15543, 23398, 28421, 51839, ...
6		179136, 528210, 104293, 196030, ...
		156381, 267313,294467, 513205, ...
7		8093211, 1811791, 3578547, 4506503, ...
		1118727、2782369、2899883、3014261等。。。
8		12996958 ,19626118,12051Q034，13435395。。。
		453293, 27741604, 46924606, 50964645, ...
9		878783625, 317579569, ...
		11504930, 74130513,...

这个单连分式对于没有显示任何明显的模式，但图案清晰做出现在美丽的非简单中继续的分数

(3)

（Brouncker），给出收敛点1，3/2，15/13，105/76，315/263。。。（OEIS）A025547美元和A007509号)和

(4)

（Stern 1833），给出收敛点1，2/3，4/3，16/15，64/45，128/105。。。（OEIS）A001901号和A046126号).