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Pi近似值


收敛点π连分数是最简单的近似圆周率前几项由3、22/7、333/106、355/113、103993/33102给出,104348/33215, ... (组织环境信息系统A002485型A002486号),对0、2、4、6、9、9、九、十、十一、十一、十二、十三。。。(组织环境信息系统A114526号)十进制数字。

两个近似值紧随其后-单位函数 3英寸/(2+cosx)评估时间:x=pi/4圆周率/8,

圆周率 大约 (12) /7(第2部分(2)-1)
(1)
 大约 (24平方(2平方(2)))/(4+平方(2+平方())),
(2)

分别为2位数和3位数。Kochanski的近似属于

 9倍^4-240倍^2+1492
(3)

由提供

 pi约为sqrt((40)/3-sqrt(12))约为3.141533,
(4)

4位数。

另一个奇怪的事实是近似整数

 e^pi-pi=19.999099979。。。,
(5)

也可以写成

 (π+20)^i=-0.9999999992-0.0000388927i约-1
(6)
 cos(ln(pi+20))约为-0.9999999992。
(7)

在这里,e ^πGelfond常数.应用余弦再过几次

 cos(皮科斯(皮科斯(ln(pi+20)))约为-1+3.9321609261×10^(-35)。
(8)

另一个近似值涉及e(电子)由提供

 pi约sqrt(4e-1),
(9)

它可以精确到两位小数(A.Povolotsky,pers.comm.,2008年3月6日)。

下面给出了一个明显有趣的近恒等式

 sin(1/(555555)度)约为pi×10^(-8),
(10)

当人们注意到555555是一个纯位数,所以上面只是近恒等式的一个特例

sin((π/(180))/(d(10^n-1)/9)) 大约 sin((π/(180))/(d(10^n)/9))
(11)
 大约 π/(2d)10^(-(n+1))
(12)

具有d=5n=6.

近似值包括黄金比率 φ产生于体积规范的 正方的反楔带装置中半径,即

圆周率 大约 8/3斐(2平方英尺(斐))
(13)
=8/3(1+平方(5)-平方(2+平方(五)))
(14)
=3.14105...
(15)

(比照Pegg 2018),好到3位数。另一种近似涉及φ

圆周率 大约 6/5φ^2
(16)
=6/5((平方(5)+1)/2)^2
(17)
=3/5(3+sqrt(5))
(18)
=3.14164...,
(19)

4位数。由S.Mircea Mugurel(2002年10月30日,pers.com.)得出的类似近似值如下

 pi约为4phi^(-1/2)=3.1446。。。,
(20)

然而,它只能精确到小数点后两位。另一个近似值涉及黄金比率 φ由提供

 pi近似值((802phi-801)/(602phi-601))^4,
(21)

好到7位数(K.Rashid,pers.com.)。

由于Ramanujan,一些近似值包括

圆周率 大约 (19平方米(7)/(16)
(22)
 大约 7/3(1+1/5平方英尺(3))
(23)
 大约 9/5+平方米(9/5)
(24)
 大约 ((2143)/(22))^(1/4)=(9^2+(19^2)/(22))^(1/4)=(102-(2222)/(22^2))^(1/4)=(97+1/2-1/(11))^(1/4)=(97+9/(22))^(1/4)
(25)
 大约 (63)/(25)((17+15平方米(5))/(7+15平方英尺(5)
(26)
 大约 (355)/(113)(1-(0.0003)/(3533))
(27)
 大约 (12) /(平方(130))ln[(3+平方(13))(平方(8)+平方(10)))/2]
(28)
 大约 (24)/(平方(142))ln[(平方(10+11平方(2)))+平方(10+7平方(2
(29)
 大约 (12) /(平方(190))ln[(3+平方(10)))(平方(8)+sqrt(10)]
(30)
 大约 (12) /(平方米(310))ln[1/4(3+平方米(5)))(2+平方米(2))(5+2sqrt(10)+平方米(61+20平方米(10))]
(31)
 大约 4/(平方码(522))ln[(5+平方码(29))/(平方码,
(32)

它们分别精确到3、4、4、8、8、9、14、15、15、18、23、31位数字(Ramanujan 1913-1914;Hardy 1952,第70页;Wells 1986,第54页;Berndt 1994,第48-49和88-89页)。方程式(◇) 以及类似的

 pi近似值(66平方(2))/(33平方(29)-148)
(33)

Borwein和Bailey(2003年,第135页)也给出了。拉马努扬也给了

 pi约为(99^2)/(2206平方米(2))
(34)

(Wells 1986,第54页)。

不难找到合理的近似值圆周率使用两个泛数字(A.Povolotsky,pers.comm.,2022年8月29日)。最好的近似值是

 pi近似值(8405139762)/(2675439081)=3.141592653591。。。
(35)

大约是圆周率到10位十进制数字(E.Weisstein,2022年9月7日)。S.Irvine(个人。comm.)指出(◇), 给出近似值圆周率好到8位数,可以用泛指的形式为

圆周率 大约 0+平方米(平方米(3^4+(19^2)/(78-56))
(36)
=(9^2+(19^2)/(22))^(1/4)
(37)
=((2143)/(22))^(1/4)
(38)

(S.Plouffe,pers.comm.;参见Wells 1986,第54页)。E.Pegg(个人通讯)找到了泛指的近似

 0+3+(1-(9-8^(-5))^(-6))/(7+2^(-4))=(233546921420225777694970883318153571)/(74340293968115785654927455866388593)
(39)

大约是圆周率至9位。另一个泛指的给出了公式通过

 pi约为3+4/(28)-1/(790+5/6)=3.14159265392。。。
(40)

(B.Astle,pers.comm.,2004年1月9日),其近似值为圆周率到9位数。超越这两者的是泛指的近似

 2^(5^(.4))-.6-((.3^9)/7)^(.8^(.1)).
(41)

它给出了10个正确的数字(B.Ziv,pers.comm.,2004年7月7日)。下式给出了进一步的泛指近似

 (ln{[2×5!+(8-1)!]^(sqrt(9))+4!+(3!)!})/(sqert(67)),
(42)

这是17位数(G.W.Barbosa,pers.comm.)。

M.Schneider(pers.comm.,2008年5月6日)发现了近似值

 pi近似平方(7+平方(6+平方(5)),
(43)

精确到小数点后三位数。P.Lindborg(pers.comm.)指出,收敛的104348/33125可以用稍微奇怪的形式书写

 (314+142)/(2·3·5·7)(1373)/(13·73),
(44)

9位数。

由于E.Pegg的其他近似值包括

 pi约为4-((105)/(166))^(1/3),
(45)

这是6位数(pers.comm.,2002年3月2日)和

 pi约为(22)/(17)+(37)/(47)+(88)/(83),
(46)

它可以精确到9位数(pers.comm.,2002年12月30日)。

涉及多维数据集根

 pi约为31^(1/3),
(47)

3位数(M.Joseph,pers.comm.,2006年5月3日)。一个更奇特的是

 pi约为(ln6)^((ln5)^,
(48)

这是4位数(M.Joseph,pers.comm.,2006年5月3日)。

Castellanos(1988ab)给出了一系列奇怪的公式:

圆周率 大约 (2e^3+e^8)^(1/7)
(49)
 大约 ((553)/(311+1))^2
(50)
 大约 (3/(14))^4((193)/5)^2
(51)
 大约 ((296)/(167))^2
(52)
 大约 ((66^3+86^2)/(55^3))^2
(53)
 大约 1.09999901·1.19999911·1.39999931·1.69999961
(54)
 大约 (47^3+20^3)/(30^3)-1
(55)
 大约 2+平方米(1+(413)/(750))^2)
(56)
 大约 (77729)/(254))^(1/5)
(57)
 大约 (31+(62^2+14)/(28^4))^(1/3)
(58)
 大约 (1700^3+82^3-10^3-9^3-6^3-3^3)/(69^5)
(59)
 大约 (95+(93^4+34^4+17^4+88)/(75^4))^(1/4)
(60)
 大约 (100-(2125^3+214^3+30^3+37^2)/(82^5))^(1/4),
(61)

分别精确到3、4、4、5、6、7、7、8、9、10、11、12和13位。由于Shanks(1982),一个非常精确的近似值是

 pi约为6/(sqrt(3502))ln(2u)+7.37×10^(-82),
(62)

哪里u个是四个简单四次单位的乘积。

David W.Hoffman(pers.comm.)给出了

 pi近似值((10^(100))/(11222.11122))^(1/193),
(63)

其中分子是一古戈尔,相当于9数字。近似值

圆周率 大约 e(e(e)(e(-2)))
(64)
 大约 2+e(e(-2))
(65)

给出2位数(G.von Hippel,pers.comm.)。

Plouffe、Borwein和Bailey(2003年,第115页和134-135页)提出的一系列近似值包括

圆周率 大约 43^(7/23)
(66)
 大约 (ln2198)/(平方码(6))
(67)
 大约 ((13)/4)^(1181/1216)
(68)
 大约 (689)/(396磅(689磅/396磅))
(69)
 大约 5280平方英尺(9/(67))
(70)
 大约 (63023)/(30510))^(1/3)+1/4+1/2(平方码(5)+1)
(71)
 大约 (48)/(23)英寸((60318)/(13387))
(72)
 大约 (228+(16)/(1329))^(1/41)+2
(73)
 大约 (125)/(123)ln((28102)/(1277))
(74)
 大约 3/(平方英尺(163))英寸(640320)
(75)
 大约 ((276694819753963)/(226588))^(1/158)+2
(76)
 大约 (ln(640320^3+744))/(平方码(163)),
(77)

分别精确到4、5、7、7、9、10、11、11、15、23和30位。

最后一个表达式是j个-功能.再往前走一步

 -e^(pisqrt(163))+744-196886e^(-pisqrt(163))+=-640320^3
(78)
 e^(活塞(163))(1+196884e^
(79)
 e^(2磅/平方英寸(163))(1+196884e^(-2磅/平方英寸(163)))^2约(640320^3+744)^2
(80)
 e^(皮斯克特(163))+2·196884约(640320^3+744)^2
(81)

 pi近似值(ln[(640320^3+744)^2-2·196884])/(2sqrt(163)),
(82)

精确到46位小数(Warda,pers.comm.,2004年11月15日)。

Pi近似平方

有趣的是,ln(nint(exp(pisqrt(163n)))/sqrt(63n))连续给出了很好的近似值圆周率越来越大n个(Warda,pers.comm.,2004年11月22日)。特别是的正确位数n=1, 2, ... 由30、28、31、46、40、44、48、51、61、,57、59、62、65(OEISA100935号).

由于Stoschek使用二次幂和特殊数163(最大的希格纳数)由提供

 pi约为(2^9)/(163)=(512)/(63)约为3.1411043,
(83)

3位数。分子和分母都很小的分数,近似于圆周率

 (311)/(99)=3.14141414....
(84)

一些涉及有理数第九根的近似包括

圆周率 大约 ((4297607660)/(144171))^(1/9)
(85)
 大约 ((34041350274878)/(1141978491))^(1/9),
(86)

分别为12位数和15位数(P.Galliani,pers.comm.)。

发现了de Jerphanion(pers.comm.)

 pi约为ln(23+1/(22)+2/(21))=ln(23+1/6-2/(77))=ln((10691)/(462)),
(87)

这是9位数,J.Iuliano发现

 pi近似值((19)/(60)+1/(sqrt(3·123449))^(-1),
(88)

11位数。

给出近似值的定积分圆周率Backhouse(1995)和Lucas(2005)对其进行了研究。

F.Voormanns(2003年12月12日,pers.com.)发现了一个奇怪的天文近似值

 pi约为1/(周)((13年-6周)/(13年)+3周),
(89)

如果年份精确到365天,则精确到8位数;如果使用平均公历年(365.2425天)或热带年(365.42190天),则精确至6位数。

里维拉给出了其他近似公式。


另请参见

近似整数,圆周率,Pi连分式,圆周率数字,Pi公式

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Backhouse,N.“注79.36。Pancake函数及其近似圆周率."数学。加兹。 79,371-3741995年。伯恩特,B.C。拉马努詹氏笔记本,第四部分。纽约:Springer-Verlag,1994年。博文,J.和Bailey,D。数学实验:21世纪的合理推理。马萨诸塞州韦尔斯利:AK Peters,2003年。Castellanos,D.“无处不在的Pi.第一部分”数学。美格。 61,67-981988a。Castellanos,D.“The无处不在的Pi。第二部分。"数学。美格。 61,148-1631988b。比赛居中。“Pi比赛。”http://www.contestcen.com/pi.htm.弗里德曼,E.“本月问题(2004年8月)”https://erich-friedman.github.io/mathmagic/0804.html.哈代,G.H.公司。A类《纯粹数学课程》,第10版。英国剑桥:剑桥大学出版社,1952年。卢卡斯,S.K。“完整的证据355/113>圆周率."加兹。南方的。数学。Soc公司。 32,263-266, 2005.小E.佩格。“对于Pi日:体积=3.141-The标准正方形反楔形六面体。“2018年3月14日。https://community.wolfram.com/groups/-m/t/1301599.普劳夫,S.“Pi的几个近似值。”http://pi.lacim.uqam.ca/eng/approximations_en.html.拉马努扬,S.“模方程和近似圆周率."夸脱。J.纯。申请。数学。 45, 350-372,1913-1914.问题与困惑:难题050-最佳用素数逼近Pi。"http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_050.htm.柄,D.“二面体四次近似和级数圆周率."J.编号。第。 14,397-4231982年。斯隆,新泽西州。答:。序列A002485型/M3097,A002486号/M4456,A100935号,A114526号在线百科全书整数序列的。"威尔斯,D。这个企鹅奇趣数字词典。英国米德尔塞克斯:企鹅出版社,1986年。

参考Wolfram | Alpha

Pi近似值

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“Pi近似值。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/PiApproximations.html

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