收敛点的π连分数是最简单的近似前几项由3、22/7、333/106、355/113、103993/33102给出,104348/33215, ... (组织环境信息系统A002485型和A002486号),对0、2、4、6、9、9、九、十、十一、十一、十二、十三。。。(组织环境信息系统A114526号)十进制数字。
两个近似值紧随其后-单位函数 评估时间:和,给
分别为2位数和3位数。Kochanski的近似是根属于
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由提供
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4位数。
另一个奇怪的事实是近似整数
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也可以写成
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在这里,是Gelfond常数.应用余弦再过几次
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另一个近似值涉及由提供
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它可以精确到两位小数(A.Povolotsky,pers.comm.,2008年3月6日)。
下面给出了一个明显有趣的近恒等式
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当人们注意到555555是一个纯位数,所以上面只是近恒等式的一个特例
具有和.
近似值包括黄金比率 产生于体积的规范的 正方的反楔带装置中半径,即
(比照Pegg 2018),好到3位数。另一种近似涉及是
4位数。由S.Mircea Mugurel(2002年10月30日,pers.com.)得出的类似近似值如下
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(20)
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然而,它只能精确到小数点后两位。另一个近似值涉及黄金比率 由提供
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好到7位数(K.Rashid,pers.com.)。
由于Ramanujan,一些近似值包括
它们分别精确到3、4、4、8、8、9、14、15、15、18、23、31位数字(Ramanujan 1913-1914;Hardy 1952,第70页;Wells 1986,第54页;Berndt 1994,第48-49和88-89页)。方程式(◇) 以及类似的
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Borwein和Bailey(2003年,第135页)也给出了。拉马努扬也给了
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(Wells 1986,第54页)。
不难找到合理的近似值使用两个泛数字(A.Povolotsky,pers.comm.,2022年8月29日)。最好的近似值是
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大约是到10位十进制数字(E.Weisstein,2022年9月7日)。S.Irvine(个人。comm.)指出(◇), 给出近似值好到8位数,可以用泛指的形式为
(S.Plouffe,pers.comm.;参见Wells 1986,第54页)。E.Pegg(个人通讯)找到了泛指的近似
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大约是至9位。另一个泛指的给出了公式通过
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(B.Astle,pers.comm.,2004年1月9日),其近似值为到9位数。超越这两者的是泛指的近似
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它给出了10个正确的数字(B.Ziv,pers.comm.,2004年7月7日)。下式给出了进一步的泛指近似
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这是17位数(G.W.Barbosa,pers.comm.)。
M.Schneider(pers.comm.,2008年5月6日)发现了近似值
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精确到小数点后三位数。P.Lindborg(pers.comm.)指出,收敛的104348/33125可以用稍微奇怪的形式书写
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9位数。
由于E.Pegg的其他近似值包括
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这是6位数(pers.comm.,2002年3月2日)和
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它可以精确到9位数(pers.comm.,2002年12月30日)。
涉及多维数据集根是
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3位数(M.Joseph,pers.comm.,2006年5月3日)。一个更奇特的是
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这是4位数(M.Joseph,pers.comm.,2006年5月3日)。
Castellanos(1988ab)给出了一系列奇怪的公式:
分别精确到3、4、4、5、6、7、7、8、9、10、11、12和13位。由于Shanks(1982),一个非常精确的近似值是
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哪里是四个简单四次单位的乘积。
David W.Hoffman(pers.comm.)给出了
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其中分子是一古戈尔,相当于9数字。近似值
给出2位数(G.von Hippel,pers.comm.)。
Plouffe、Borwein和Bailey(2003年,第115页和134-135页)提出的一系列近似值包括
分别精确到4、5、7、7、9、10、11、11、15、23和30位。
最后一个表达式是j个-功能.再往前走一步
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给
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精确到46位小数(Warda,pers.comm.,2004年11月15日)。
有趣的是,连续给出了很好的近似值越来越大(Warda,pers.comm.,2004年11月22日)。特别是的正确位数, 2, ... 由30、28、31、46、40、44、48、51、61、,57、59、62、65(OEISA100935号).
由于Stoschek使用二次幂和特殊数163(最大的希格纳数)由提供
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3位数。分子和分母都很小的分数,近似于是
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一些涉及有理数第九根的近似包括
分别为12位数和15位数(P.Galliani,pers.comm.)。
发现了de Jerphanion(pers.comm.)
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这是9位数,J.Iuliano发现
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11位数。
给出近似值的定积分Backhouse(1995)和Lucas(2005)对其进行了研究。
F.Voormanns(2003年12月12日,pers.com.)发现了一个奇怪的天文近似值
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如果年份精确到365天,则精确到8位数;如果使用平均公历年(365.2425天)或热带年(365.42190天),则精确至6位数。
里维拉给出了其他近似公式。