自恋数

安-数字数字是总和的第个权力第个，共个数字被称为一个-自恋的数字。它有时也被称为阿姆斯特朗数，完美的数字不变量（Madachy 1979），或加上完全数。哈代（1993）写道：“四个数字，在单位之后，是它们的数字立方的总和：,,、和这些都是奇怪的事实，非常适合拼图专栏，可能会逗业余爱好者开心，但其中没有什么吸引人的地方给数学家。因此，自恋的数字概括了这些“无吸引力”数字到其他权力（马达奇1979年，第164页）。

除了微不足道的1之外，自恋数字的最小例子-数字数字是

(1)

前几个数字由1、2、3、4、5、6、7、8、9、153、370、371、407、1634、8208给出，9474, 54748, ... （组织环境信息系统A005188号).

很容易看出以10为基数-自恋数字只能存在于，自

(2)

对于.事实上，如下表所示，共有88名自恋者以10为基数，由D.Winter于1985年证明，并由D.Hoey验证。T.A.公司。门德斯奥利维拉·席尔瓦（Oliveira e Silva）在一篇帖子中给出了完整的顺序（第42889条）科学硕士1994年5月9日。这些数字只存在于1、3、4、5、6、7、8、9、10、11、14、，16、17、19、20、21、23、24、25、27、29、31、32、33、34、35、37、38和39（OEISA114904号)数字和序列最小的自恋数数字为0、（无）、153、1634、54748、548834。。。（组织环境信息系统A014576号).

	以10为基数-自恋数字
1	0、1、2、3、4、5、6、7、8、9
三	153, 370, 371, 407
4	1634, 8208, 9474
5	54748,92727, 93084
6	548834
7	1741725, 4210818, 9800817, 9926315
8	24678050, 24678051, 88593477
9	146511208, 472335975, 534494836,912985153
10	4679307774
11	32164049650, 32164049651, 40028394225,42678290603, 44708635679, 49388550606, 82693916578, 94204591914
14	28116440335967
16	4338281769391370, 4338281769391371
17	21897142587612075, 35641594208964132, 35875699062250035
19	1517841543307505039, 3289582984443187032,4498128791164624869, 4929273885928088826
20	63105425988599693916
21	128468643043731391252, 449177399146038697307
23	21887696841122916288858, 27879694893054074471405,27907865009977052567814, 28361281321319229463398, 35452590104031691935943
24	174088005938065293023722, 188451485447897896036875,239313664430041569350093
25	1550475334214501539088894,1553242162893771850669378、3706907995955475988644380、3706907995955475988644381、，4422095118095899619457938
27	1212049985663613372405438066，121270696006801314328439376, 128851796696487777842012787, 174650464499531377631639254,177265453171792792366489765
29	14607640612971980372614873089,19008174136254279995012734740, 19008174136254279995012734741, 23866716435523975980390369295
31	1145037275765491025924292050346,1927890457142960697580636236639, 2309092682616190307509695338915
32	17333509997782249308725103962772
33	186709961001538790100634132976990,186709961001538790100634132976991
34	1122763285329372541592822900204593
35	12639369517103790328947807201478392, 12679937780272278566303885594196922
37	1219167219625434121569735803609966019
38	12815792078366059955099770545296129367
39	115132219018763992565095597973971522400,115132219018763992565095597973971522401

下表给出了前几个基础-小基数的自恋数.各种已知自恋人数最多的表格底座Pickover（1995）给出了自恋的列表科宁给出了各种基数的数字。

	组织环境信息系统	底座-自恋数字
2		1
三		1, 2, 5, 8, 17
4	A010344号	1, 2, 3, 28, 29, 35, 43, 55, 62, 83, 243
5	A010346号	1,2, 3, 4, 13, 18, 28, 118, 289, 353, 419, 4890, 4891, 9113
6	A010348号	1, 2, 3, 4, 5, 99, 190, 2292, 2293, 2324, 3432, 3433, 6197, ...
7	A010350型	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 25, 32, 45, 133, 134, 152, 250, 3190, ...
8	A010354号	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 20, 52, 92, 133, 307, 432, 433, ...
9	A010353号	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 41, 50, 126, 127, 468, ...

一组密切相关的数字将自恋数字推广到-数字作为总和的数字属于任何单一的权力他们的数字.例如，4150是一个4-数字数字是总和第5页，共5页权力第个，共个数字.因为位数不等于它们的幂这些数字是不自恋数字。最小的数字是的总和任何它们的数字的单次正幂是1、2、3、4、5、6、，7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 4150, 4151, 8208, 9474, ... （组织环境信息系统A023052号),具有幂1，1，1。。。（组织环境信息系统A046074号).

另一组相关数字是Münchhausen数，这些数字等于每个数字的位数之和电源。

等于它们的数字的次幂, 4, ..., 是153163441505488341741725。。。（组织环境信息系统A003321号). 这个-等于他们数字的次幂（有限序列）叫做阿姆斯特朗数字或正整数，由1、2、3、4、5、6、7、8、9、153、370给出，371、407、1634、8208、9474、54748。。。（组织环境信息系统A005188号).

如果-数字的幂迭代应用于数字的运算最终返回到，序列中最小的数字称为-重复数字不变量.

等于数字的连续幂和的数字由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、89、135、175、518、598、1306、1676、2427、2646798给出（组织环境信息系统A032799号)例如。，

(3)

通过求和获得的值数字的次幂-数字对于, 2, ... 是1、2、3、4、5、6、7、8、9、1、2和5、10、17、，26。。。（组织环境信息系统A101337号).