谐波图

一张地图,在两人之间契约 黎曼（Riemannian）歧管，是谐波映射，如果它是能量泛函的临界点

微分的范数由上的度量给出和和量具开了吗通常，允许映射的类位于一个固定的同伦类地图数量。

这个欧拉-拉格朗日微分方程因为能量函数是非线性的椭圆形偏微分方程例如，当是圆，则欧拉-拉格朗日方程相同作为测地线方程。因此，是闭合测地线若（iff） 是谐波。从圆到赤道的地图标准的2-球体是调和贴图，采用圆圈和把它画在赤道周围时间，对于任何整数。请注意，这些都位于同一个位置同伦类。一个高维示例是亚纯的功能在契约上黎曼曲面，其中是到黎曼球。

调和映射可能并不总是存在于同伦类，如果是这样，它可能不是唯一的。什么时候？为负曲线，存在谐波代表每个同伦类，也是独一无二的。对于曲面，调和映射已被分类，正是全纯映射反全纯映射。因此，通过霍奇定理对于曲面，没有来自球到圆环体。

之间的调和图黎曼流形可以看作是测地线的什么时候域维是一个，或是一个谐波功能当范围为欧几里德空间。