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费马数

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费马数有两种定义。不太常见的是数字表单的 2^n+1通过设置获得x=1在一个费马多项式，其中的前几个是3、5、9、17、33。。。（OEIS）A000051号).

更常见的费马数是一种特殊情况，由二项式数 的形式 F_n=2^（2^n）+1.首批n=0,1, 2, ... 是3、5、17、257、65537、4294967297。。。（组织环境信息系统A000215号).的数量数字对于费马数是

D（n）=|_[对数（2^（2^n）+1）]+1_|
(1)
大约 |_对数（2^（2^n））+1_|
(2)
=1+|_2^nlog2_|。
(3)

对于n=0,1, ..., 中的位数表格（_n）因此是1、1、2、3、5、10、20、39、78、155、309、617、，1234, ... （组织环境信息系统A057755号). 位数在里面F_（10^n）对于n=0, 1, ... 是1309381600854690147056244358827361。。。（组织环境信息系统A114484号).

作为费马数是必要的（但不是足够的)形成一个数字

N_N=2^N+1
(4)

必须拥有才能成为首要的。这可以通过以下几点看出：N_N=2^N+1将成为首要的，然后n个不能有任何古怪的因素b条或者其他编号（_N）将是一个可分解的数字属于表格

2^n+1=（2^a）^b+1=（2 ^a+1）[2^（a（b-1））-2^（b（b-2））+2^（a（b-3））-…+1]。
(5)

因此，对于首要的 编号（_N）,n个必须是权力第页，共2页。没有两个费马数字的公约数大于1（哈迪和赖特1979年，第14页）。

费马在1650年推测，每一个费马数都是首要的1844年，艾森斯坦提出了无穷大存在的证明，作为一个问题费马素数（Ribenboim 1996，第88页）。然而，目前只有混合成的费马数表格（_n）众所周知n> =5一位匿名作家提出了这个数字属于表格 2^2+1,2^(2^2)+1,2^(2^(2^2))+1是首要的然而，当塞尔弗里奇（1953）证明

F_（16）=2^（2^（16））+1=2^
（6）

是混合成的（Ribenboim，1996年，第88页）。

唯一已知的费马素数是

表格_0=三
(7)
F_1级=5
(8)
第2层=17
(9)
F_3级=257
(10)
F_4级=65537
(11)

（组织环境信息系统A019434号)似乎不太可能使用当前的计算方法和硬件可以找到更多。

由于费马数的规模很大，因此很难对其进行因子分解。事实上，截至2022年，只有F_5级到F_（11）已完全考虑因素。因素的数量用于Fermat编号表格（_n）对于n=0,1, 2, ... 是1、1、1，1、2、2、3、4、5。。。（组织环境信息系统A046052号).显式写出，完整的因式分解是

F_5级=641·6700417
(12)
六楼=274177·67280421310721
(13)
7楼=59649589127497217·5704689200685129054721
(14)
8楼=1238926361552897·93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321
（15）
9楼=2424833·7455602825647884208337395736200454918783366342657·P99
(16)
F_（10）=45592577·6487031809·4659775785220018543264560743076778192897·P252
(17)
F_（11）=319489·974849·167988556341760475137·3560841906445833920513·P564
(18)

（OEIS）A050922号). 这里，最后一个大的首要的未显式给出，因为它可以通过除法计算表格（_n）由其他给定因素决定。

费马数的最小因子是5，17，257，65537，641，274177，59649589127497217，1238926361552897，2424833。。。（组织环境信息系统A093179号),最大的是5、17、257、65537、6700417、67280421310721、5704689200685129054721、，（组织环境信息系统A070592号).

下表总结了这些完全因子化费马数的特性。Keller（1983）给出了费马数的其他已知因子表，布里尔哈特等。（1988年）、杨和贝尔（1988）、里塞尔（1994）和波梅兰斯（Pomerance）(1996). Keller保留了费马数已知因子的当前列表。在这些表格中，由于所有因素都是表单的 k2^n+1，表示已知因素以简洁的形式（k，n）.

表格（_n）数字因素数字参考
51023, 7欧拉1732
62026, 14兰德里1880
739217, 22莫里森和Brillhart 1975年
878216, 62布伦特和波拉德1981
9155三7, 49, 99马纳塞和Lenstra（1993年在Cipra）
1030948, 10, 40, 252布伦特1995
1161756, 6, 21, 22, 564布伦特1988

截至2022年，F_（12）有6个已知因素，剩余C1133（其中Cn个表示带有n个数字），F_（13）有4个已知因素，剩余C2391，以及F_（14）有一个已知因素，剩余C4880（Keller）。

到20世纪80年代初，表格（_n）众所周知是复合材料5<=n<=32除了例外n=20、22、24、28和31（Riesel 1994，Crandall等。2003).Young和Buell（1988）发现F_（20）是混合成的，克兰德尔等。（1995年）F_（22）是混合成的、和克兰德尔等。（2003）F_（24）是混合成的（克兰德尔1999; Borwein和Bailey，2003年，第7-8页；克兰德尔等。2003). 1997年，Taura发现F_（28）（克兰德尔等。2003年，Keller），以及一个小因素属于F_（31）也发现了。截至2022年众所周知表格（_n）对所有人来说都是复合的5<=n<=33（参见克兰德尔等。2003年）。

目前有两个已知的费马数是复合的，但没有一个因素是已知的：F_（20）和和F_（24）（凯勒；参见克兰德尔等。2003).

Ribenboim（1996年，第89和359-360页）定义了广义费马数作为数字表单的 a^（2^n）+1具有a> 2个即使如此，Riesel（1994年，第102和415页）定义了它们通常是形式的数字a^（2^n）+b^（2 ^n）.

费马数满足递推关系

F_m＝F_0F_1…F_（m-1）+2。
(19)

表格（_n）可以显示为首要的 若（iff）它满足了佩平试验.佩平定理

3^（2^（2 ^n-1））=-1（模F_n）
(20)

也是两者必要的和足够的.

1770年，欧拉表明因素属于表格（_n）必须具有表单

2^（n+1）K+1，
(21)

哪里K（K）是一个正整数1878年，卢卡斯增加了2乘以1的指数，表明因素费马的数字必须为表单的

2^（n+2）L+1
(22)

对于n> 1个.因此，费马数的因子为Proth素数因为它们的形式k·2^n+1，只要它们也满足附加条件k个奇数和2^n>k.

如果

F=p_1p_2…p_r
(23)

是的系数部分F_n=FC（其中C类是要测试素性的辅因子），计算

A类=3^（F_n-1）（修改F_n）
(24)
B类=3^（F-1）（修改F_n）
(25)
R（右）=A-B（C型）。
(26)

那么如果R=0,辅因子是概素数到底座3立方英尺；否则C类是混合成的.

为了实现多边形被限定为圆圈（即a可建造的多边形)，它必须有多个侧面N个由提供

N=2^kF_0…F_N，
(27)

哪里k个为非负，且F_i（_ i）为零或更多不同的费马素数（如高斯所述，首次出版Wantzel，1836年）。这相当于三角函数sin（kpi/N）,cos（kpi/N）等，可以用有限数计算加法、乘法和平方根提取若（iff） N个为上述形式。

最后d日的位数{F_k，F_（k+1），…}（其中k个是最小的整数，因此确定（_k）有d日数字）最终是周期性的d=1, 2, ... 周期为1、4、20、100、500、2500。。。（组织环境信息系统A005054号；科西2002-2003年）。

另请参见

卡伦数,费马多项式,费马素数,广义费马数,近方形素数,佩平氏测试,佩平定理,波克林顿的定理,多边形,普罗斯Prime（主要）,普罗斯定理,塞尔弗里奇·胡维茨残留,Woodall编号

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参考Wolfram | Alpha

费马数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“费马编号。”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/FermatNumber.html

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