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下降阶乘

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衰减因子

下降阶乘（x） _n（n）,有时也表示x^（n_）（格雷厄姆等。1994年，第48页），定义如下通过

（x） _n=x（x-1）。。。（x-（n-1））
（1）

对于n> =0.也称为二项式多项式、低阶乘、降阶乘幂（格雷厄姆等。1994年，第48页），或阶乘幂。

下降因子与升阶乘 x^（（n））（又名。波赫哈默尔符号)由

（x） n=（-1）^n（-x）^（（n）），
（2）

下降阶乘在Wolfram语言作为工厂电力[x个,n个].

下降阶乘的广义版本可以定义为

（x） _n^（（h））（x）=x（x-h）。。。（x-（n-1）小时）
(3)

并在中实现Wolfram语言作为工厂电力[x个,n个,小时].

像往常一样阶乘的与下降阶乘有关通过

不=（n） _n（n）
(4)

（格雷厄姆等。1994年，第48页）。

在组合用法中，下降阶乘通常表示为（x） _n（n）和升阶乘表示为（x） ^（（n））（Comtet 1974，第6页；Roman 1984，第5页；Hardy 1999，第101页），然而在微积分中有限差分和特殊函数理论，表示下降阶乘x^（（n））和升阶乘表示为（x） _n（n）（罗马1984年，第5页；阿布拉莫维茨和斯特根1972年，第256页；斯潘尼尔1987年）。极端因此，在解释这些符号的含义时需要谨慎（x） _n（n）和x^（（n））.在这项工作中，符号（x） _n（n）用于下降阶乘，可能导致与Pochhammer符号.

前几个下降阶乘是

（x） _0（0）=1
（5）
（x） _1个=x个
(6)
（x） _2=x（x-1）
(7)
=x ^2-x
(8)
（x） _3个=x（x-1）（x-2）
(9)
=x^3-3x^2+2x
(10)
（x） _4个=x（x-1）（x-2）（x-3）
(11)
=x^4-6x^3+11x^2-6x
(12)

（组织环境信息系统A054654号).

这个导数由提供

d/（dz）（z）_n=（H_z-H_（z-n））（z）_n，
(13)

哪里赫兹是一个谐波数.

连接下降阶乘的求和公式（x） _n（n）和上升阶乘x^（（n））,

（x） _n＝sum_（k=0）^nc_（nk）x^（（k）），
(14)

使用Sheffer公式给出

克（吨）=1
(15)
f（t）=电子^t-1
(16)
小时（吨）=1
(17)
l（吨）=1-e^（-t），
(18)

它提供了生成函数

sum_（n=0）^infty（t_n（x））/（n！）t^n=sum_=e^（tx/（1+t））=1+xt+1/2（x^2-2x）t^2+1/6（x^3-6x^2+6x）t|3+1/（24）（x^4-12x^3+36x^2-24x）t*4+。。。，
(19)

哪里

t_n（x）=总和（k=0）^nc_（nk）x^k。
(20)

读取系数给出

c（00）=1c（11）=1 c（10）=0c（22）=1c（21）=-2c（20）=0c（33）=1c（32）=-6c（31）=6c（30）=0，
(21)

所以，

（x） _0（0）=x^（（0））
（22）
（x） _1个=x^（（1））
(23)
（x） _2=x（（2））-2x（1））
(24)
（x） 3个=x（3）-6x（2）+6x（1）），
(25)

等（罗马1984年第133页给出的公式不正确）。

下降阶乘是一个关联的Sheffer序列具有

f（t）=e^t-1
(26)

（罗马1984年，第29页）生成函数

sum_（k=0）^（infty）（（x）_k）/（k！）t^k=e ^（xln（1+t））
(27)
=（1+t）^x，
(28)

相当于二项式定理

sum_（k=0）^infty（x；k）t^k=（1+t）^x。
(29)

的二项式恒等式谢弗序列是

（x+y）n=总和（k=0）^n（n；k）（x）k（y）_（n-k），
(30)

哪里（n；k）是一个二项式系数，可以重写作为

（x+y；n）=总和（k=0）^n（x；k）（y；n-k），
(31)

被称为Chu-Vandermonde身份.下降阶乘服从递推关系

x（x）n=（x）_（n+1）+n（x）_n
（32）

（罗马1984年，第61页）。

另请参见

二项式定理,中心阶乘,Chu-Vandermonde身份,Pochhammer符号,上升阶乘,谢弗序列,西格玛多项式的

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参考文献

M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。带公式、图形和数学表的数学函数手册，第9版。纽约：多佛，1972年。康泰特，L。高级组合数学：有限和无限扩展的艺术，英文版。预计起飞时间。多德雷赫特，荷兰：Reidel，1974年。格雷厄姆·R·L。；Knuth，D.E。；和O·帕塔什尼克。混凝土数学：计算机科学基础，第二版。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，1994G.H.哈代。拉马努詹：关于他的生活和工作所建议主题的十二讲，第三版。纽约：切尔西，第101页，1999年。Roman，S.“低阶乘多项式”§1.2英寸这个脑微积分。纽约：学术出版社，第5、28-29和56-63页，1984新泽西州斯隆。答：。序列A054654号在“整数序列在线百科全书”中扳手，J.和Oldham，K.B。“Pochhammer多项式（x） _n（n）.“Ch.18英寸安功能地图集。华盛顿特区：《半球》，第149-1651987页。

引用的关于Wolfram | Alpha

下降阶乘

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“下降因子。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/FallingFactorial.html

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