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Dirichlet Eta函数

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Dirichlet eta函数是eta（个）由定义

eta（个）=sum_（k=1）^（infty）（（-1）^
（1）
=（1-2^（1-s））zeta（s），
(2)

哪里泽塔是黎曼-泽塔函数注意BorweinBorwein（1987年，第289页）使用了符号α（s）而不是eta（个）该函数也称为交替zeta函数并表示ζ^*（s）（Sondow，2003年，2005年）。

eta（0）=1/2由设置定义s=0在的右侧(2)，同时eta（1）=ln2（有时称为交变谐波系列)使用左侧定义。函数在每个零处消失属于1-2^（1秒）除了s=1（Sondow，2003年）。

eta函数与黎曼-泽塔函数和Dirichlet lambda函数通过

（zeta（nu））/（2^nu）=（λ（nu
（3）

和

zeta（nu）+eta（nu
(4)

（Spanier和Oldham 1987）。eta函数也是多对数功能，

eta（x）=-Li_x（-1）。
(5)

价值观eta（1）可以通过注意麦克劳林系列对于ln（1+x）对于-1<x<=1是

ln（1+x）=x-1/2x^2+1/3x^3-1/4x^4+。。。。
(6)

因此2的自然对数是

液化天然气=ln（1+1）
(7)
=1-1/2+1/3-1/4+...
(8)
=sum_（n=1）^（infty）（（-1）^
(9)
=eta（1）。
(10)

的值即使 整数与黎曼zeta函数Abramowitz和Stegun（1972年，第811页）中给出了特定的值，并包括

eta（0）=1/2
(11)
η（1）=液化天然气
(12)
eta（2）=1/（12）pi^2
(13)
eta（3）=3/4泽塔（3）
(14)
eta（4）=7/（720）pi^4
(15)
η（5）=（15） /（16）zeta（5）。
(16)

它出现在积分中

int_0^1int_0^1（[-ln（xy）]^s）/（1+xy）dxdy=伽马（s+2）eta
(17)

（Guillera和Sondow，2005年）。

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eta函数的导数由下式给出

eta^'（x）=2^（1-x）（ln2）zeta（x）+（1-2^（1-x））zeta^'（x）。
(18)

特殊情况由

eta^'（-1）=3lnA-1/4-（ln2）/3
（19）
=0.2652143709...
(20)
eta^'（0）=1/2英寸（pi/2）
(21)
=0.2257913526...
（22）
eta^'（1/2）=zeta（1/2）[1/2（3-sqrt（2））ln2-1/4（sqert（2）-1）（2gamma+pi+2lnpi）]
(23)
=0.1932888316
(24)
eta^'（1）=γ2-（（ln2）^2）/2
（25）
=0.1598689037...
(26)

（组织环境信息系统A271533型、OEISA256358型、OEISA265162型和OEISA091812号),哪里A类是格拉舍-金克林常数,泽塔（z）是黎曼-泽塔函数、和伽马射线是欧拉·马斯切罗尼常数。的标识eta^'（0）为沃利斯公式.

另请参见

Dedekind-Eta函数,Dirichlet Beta函数,迪里克莱匿名函数,哈吉科斯塔斯公式,黎曼-泽塔函数,齐塔功能

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工具书类

M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。带公式、图形和数学表的数学函数手册，第9版。纽约：多佛，第807-8081972页。J.M.博文。和博文，邮政信箱。圆周率&AGM：分析数理论和计算复杂性研究。纽约：Wiley，1987年。Guillera，J.和Sondow，J.“二重积分一些经典常数的无穷乘积勒赫的超越。“2005年6月16日。http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319.哈维尔，J.“真正的替代品”§16.12伽马射线：探索欧拉常数。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社，第206-207页，2003新泽西州斯隆。答：。序列A271533型,A256358型,A265162型,和A091812号在线百科全书整数序列的。"Sondow，J.“交替零点”线上的Zeta函数R[s]=1."阿默尔。数学。每月 110, 435-437,2003Sondow，J.“欧拉常数和ln（4/pi）（单位：磅/平方英寸）和哈吉科斯塔斯的模拟公式。"阿默尔。数学。每月 1122005年6月61日至65日。扳手，J.和Oldham，K.B。“Zeta数和相关函数”第3章在里面安功能地图集。华盛顿特区：《半球》，第25-33页，1987年。

引用的关于Wolfram | Alpha

狄利克雷-埃塔函数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Dirichlet Eta函数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/DirichletEtaFunction.html

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