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加泰罗尼亚常数

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加泰罗尼亚常数是一个常数，通常出现在组合函数的估计以及某些类别的和和定积分中。通常表示为K（K）（本工程），G公司（例如，Borwein等。2004年，第49页），或C类(Wolfram语言).

加泰罗尼亚常数可以定义为

K=总和_（K=0）^infty（（-1）^K）/（（2k+1）^2）
(1)

（Glaisher 1877，但他在本文中没有明确指出常数）。不知道是否K（K）是不合理的.

Catalan常量在沃尔夫拉姆语言作为加泰罗尼亚语.

这个常数是为了纪念E.C。加泰罗尼亚人（1814-1894），他首先给出了积分的等价级数和表达式。数字上，

K=0.915965594177。。。
(2)

（组织环境信息系统A006752号).

K（K）可以通过以下公式进行分析表达

K（K）=β（2）
(3)
=-ichi_2（i）
(4)
=1/（24）pi-1/2pilnA+4pizeta^'（-1,1/4），
(5)

哪里β（z）是Dirichletβ函数,chi_nu（z）是勒让德的儿童功能,一是Glaisher-Kinkelin常数,和zeta（s，a）是的偏导数赫尔维茨泽塔功能关于第一个参数。

Glaisher（1913）给出

K=1-总和_（n=1）^系数（nzeta（2n+1））/（16^n）
(6)

（瓦尔迪1991年，第159页）。它也由总和给出

K（K）=sum_（k=0）^（infty）1/（（4k+1）^2）-sum_（k=0.）^
(7)
=-1/8pi^2+2sum_（k=0）^（infty）1/（（4k+1）^2）
(8)
=1/8pi^2-2sum_（k=0）^（infty）1/（（4k+3）^2）
(9)

方程（◇）和（◇）如下

zeta（2）=sum_（n=1）^infty1/（n^2）=1/6pi^2，
(10)

与一起

总和_（n=1,3，…）1/（n^2）=sum_（n=1）^（infty）1/（n^2）-sum_（n=2.4，…）^
(11)
=zeta（2）-1/4sum_（n=1）^（infty）1/（n^2）
(12)
=3/4泽塔（2）
(13)
=1/8pi^2。
(14)

但是

总和_（n=1,3，…）1/（n^2）=sum_（k=0）^（infty）1/（（4k+1）^2）+sum_
(15)
=1/8pi^2，
(16)

如此结合(16)用（◇）表示（◇。

应用收敛性改进至（◇）给予

K=1/（16）总和_（m=1）^系数（m+1）（3^m-1）/（4^m）zeta（m+2），
(17)

哪里泽塔（z）是黎曼ζ函数以及身份

1/（（1-3z）^2）-1/（1-z）^2=sum_（m=1）^infty（m+1）（3^m-1）/（4^m）z^m
(18)

已使用（Flajolet和Vardi 1996）。

一个美丽的双系列O.Oloa（个人。comm.，2005年12月30日）由

sum_（i=1）^inftysum_（j=1）_infty（（i-1）！（j-1）！）/（（i+j）！）（4^（i+j））/（2i+2j+1）（2（i+j））；i+j））=8（1-K）。
(19)

有大量BBP型配方奶粉带系数（-1）^k,最初的几个是

K（K）=sum_（k=0）^（infty）（（-1）^k）/（（2k+1）^2）
(20)
=4sum_（k=0）^（infty）（（-1）^k）/（（4k+2）^2）
(21)
=sum_（k=0）^（infty）（-1）^k[1/（（6k+1）^2）-1/（（5k+3）^2
(22)
=1/3sum_（k=0）^（infty）（-1）^k[2/（（6k+1）^2）+7/（（6k+3）^2
(23)
=sum_（k=0）^（infty）（-1）^k[1/（（10k+1）^2）-1/（（1k+3）^2
(24)
=1/3sum_（k=0）^（infty）（-1）^k[4/（（10k+1）^2）-4/（10k+3）^2
(25)
=sum_（k=0）^（infty）（-1）^k[1/（（14k+1）^2）-1/（14k+3）^2
(26)
=1/6sum_（k=0）^（infty）（-1）^k[5/（14k+1）^2）-5/（14k+3）^2
(27)

（E.W.Weisstein，2006年2月26日）。

BBP型配方的标识K（K）拥有更高权力的包括

K（K）=3/（64）总和_（k=0）^（infty）（（-1）^k）/（64^k）[（32）/（12k+1）^2）-k+11）^2）]
(28)

（V.Adamchik，《大众通讯》，2007年9月28日），

K（K）=5/（1024）总和_（k=0）^（infty）（（-1）^k）/（1024^k）[（512）/（20k+1）^2）-（1536）/（（20k+2）^2）^2）+（64）/（（20k+11）^2
(29)

（E.W.Weisstein，2007年9月30日），

K（K）=1/（1024）总和_（k=0）^（infty）1/（4096^k）[（3072）/（24k+1）^2）-（3072）^2）-（192）/（（24k+10）^2，+（768）/（24k+1 2）^2/（（24k+21）^2）]
(30)

（Borwein和Bailey，2003年，第128页），以及

K（K）=1/（1024）总和_（k=0）^（infty）1/（4096^k）[（1024年）/（（24k+1）^2）+（1024日）/（24k+2）^2（320）/（24k+9）^2）+（64）/（（24k+10）^2^2） -（12）/（（24k+20）^2）+5/（（24k+21）^2）+4/（（24k+22）^2）-1/（24k+23）^2）]
(31)
=1/（3072）sum_（k=0）^（infty）1/（4096^k）[（5120）/（24k+1）^2）-（8192）/（24k+2）^2）-（2560）/（24k+3）^2）+（2560）/（24k+4）^2）-（1280）/（24k+5）^2）-（2048）/（24k+6）^2）-（512）/（24k+7）^2）-（832）/（24k+9）^2）-（512）/（（24k+10）^2）+（128）/（24k+11）^2）-（128）/（24k+12）^2）-（80）/（24k+13）^2）+（16）/（24k+14）^2）+（40）/（24k+15）^2）+（20）/（24k+17）^2）+（40）/（24k+18）^2）+8/（24k+19）^2） +（10）/（（24k+20）^2）+（13）/（24k/21）^2
(32)

（E.W.Weisstein，2006年2月25日）。

由于A.Lupas，快速收敛的Zeilberger型和由下式给出

K=1/（64）总和_（K=1）^系数（（-1）^（K-1）2^（8k）（40k^2-24k+3）[（2k）！]^3（K！）^2）/（K^3（2k-1）[（4k）！]^2）
(33)

（Lupas 2000），用于计算K（K）在中沃尔夫拉姆语言。这也可以写成

K=-1/（64）总和_（K=1）^系数（（-2^8）^K（40k^2-23k+3））/（K^3（2k-1）（4k；2k）^2（2k；K））
(34)

（坎贝尔2022）。使用WZ方法，Guillera（2019）得出了以下公式

K=1/2sum_（K=0）^系数（（-2^6）^K（4k+3））/（2k+1）^3（2k；K）^3）
(35)

（吉列拉2019年，坎贝尔2022年）。此外，坎贝尔（2022）表示

K=-1/2-1/（16）总和_（K=1）^系数（（-2^8）^K（40k^2+4k-1））/（K^2（4k+1）（2k；K）（4k；2k）^2）。
(36)

加泰罗尼亚常数也由积分给出

K（K）=int_0^1（tan^（-1）xdx）/x
(37)
=整数0^13/xtan^（-1）[（x（1-x））/（2-x）]dx
(38)
=-整数0^1（lnxdx）/（1+x^2）
(39)
=1/2int_0^1K（k）dk
(40)
=-int_0^（pi/2）ln[2sin（1/2t）]dt
(41)
=int_0^（pi/4）ln（cotx）dx
(42)
=1/2int_0^（pi/2）xcscxdx
(43)
=pi/8int_（-infty）^infty（秒）/tdt
(44)
=int_0^（pi/2）sinh^（-1）（sinx）dx
(45)
=1/2桩（1+sqrt（2））+int_0^（sinh^（-1）1）sin^（-1sinht）dt，
(46)

其中(40)来自Mc Laughlin（2007；对应于1/（-64）^kBBP型配方）(41)来自Borwein等。(2004,第106页）(43)来自Glaisher（1877）(44)来自J.Borwein（pers.comm.，2007年7月16日）(45)来自Adamchik，并且(46)来自W.Gosper（pers.comm。，2008年6月11日）。在这里，K（K）（不要与加泰罗尼亚常数本身混淆）是一完全椭圆积分第一类Zudilin（2003）给出了单元平方积分

K=1/8int_0^1int_0^1（dxdy）/（（1-xy）平方（x（1-y））），
(47)

它是一个二重积分对于泽塔（2）由于Beukers（1979）。

就三角函数 psi_1（x）,

K（K）=1/（16）psi_1（1/4）-1/（16）psi _1（3/4）
(48)
=1/8pi^2-1/8psi_1（3/4）
(49)
=1/（32）psi_1（1/8）+1/（32）psi（5/8）-1/8pi^2
(50)
=1/8pi^2-1/（32）psi_1（3/8）-1/（32）psi（7/8）
(51)
=1/（64）[磅/平方英寸_1（1/8）-磅/平方毫米_1（3/8）+磅/平方英尺_1（5/8）-英寸/平方英寸-1（7/8）]
(52)
=1/（80）psi_1（5/（12））+1/（80）psi _1（1/12）-1/（10）pi^2
(53)
=1/（10）pi^2-1/（80）psi_1（7/（12））-1/（80
(54)
=1/（160）[磅/平方英寸_1（1/（12））+磅/平方毫米_1（5/（12。
(55)

加泰罗尼亚常数也出现在产品中，例如

e^（-1/2+2K/pi）=lim_（n->infty）1/（（4n+1）^（2n））乘积_（k=1）^n（（4k-1）^
(56)

（Glaisher 1877）。

Zudilin（2003）给出了连分数

K=（（13）/2）/（q（0）+）（1^4·2^4·p（0）p（2））/（q1）+）。。。…（2n-1）^4（2n）^4p（n-1）p（n+1））/（q（n）+）。。。，
(57)

哪里

p（n）=20n^2-8n+1
(58)
q（n）=3520n^6+5632n^5+2064n^4-384n^3-156n^2+16n+7，
(59)

它类似于阿佩里的常数阿佩里（1979）发现。

另请参见

加泰罗尼亚常数近似,加泰罗尼亚常数续分数,加泰罗尼亚常数数字,Dirichlet Beta函数

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/Constants/Catalan网站/

本条目的部分内容由乔纳森·桑多(作者的链接)

本条目的部分内容由奥列格马里切夫

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M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。带公式、图形和数学表的数学函数手册，第9版。纽约：多佛，第807-8081972页。Adamchik，V.“积分和Catalan常数的级数表示。"http://www-2.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/catalan.htm.阿达姆奇克，V.“加泰罗尼亚常数的三十三种表示法”http://library.wolfram.com/infocenter/Demos/109/.阿佩里，R.“非理性泽塔（2）et（等）泽塔（3）."阿斯特里斯克 61, 11-13, 1979.阿夫肯，G.公司。数学物理学家方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第551-552页，1985Beukers，F.“关于非理性的注释泽塔（2）和泽塔（3）."牛市。伦敦数学。Soc公司。 11, 268-272,1979Borwein，J.和Bailey，D。数学实验：21世纪的合理推理。马萨诸塞州韦尔斯利：AK Peters，2003年。Borwein，J。；Bailey，D。；和Girgensohn，R。实验数学：发现的计算途径。马萨诸塞州韦尔斯利：A K Peters，2004J.M.坎贝尔。“WZ证明来自楚和Kiliç，带应用程序。"申请。数学。电子笔记,22, 354-361,2022加泰罗尼亚语，E.“系列的苏拉变换，以及苏尔奎尔克（Sur-la transformation des series，et Sur quelques）”积分定义。"比利时皇家马德里4号梅莫尔,1865.加泰罗尼亚语，E.“常数研究”G公司，et surles积分为euleriennes。"梅莫尔圣特尔斯堡科学院，序列号。 7,31, 1883.费，G.J。“加泰罗尼亚常数的计算拉马努扬公式。"ISAAC’90。程序。国际。交响乐团。符号代数公司。，1990年8月。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，1990年。芬奇，S.R。《加泰罗尼亚常数》第1.7条数学常量。英国剑桥：剑桥大学出版社，第53-59页，2003Flajolet，P.和Vardi，I.“经典Zeta函数展开常量。“未出版手稿，1996年。http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/landau.ps.上光器，J·W·。L。“关于数字连续乘积。”Messenger数学。 6,71-76, 1877.R.W.戈斯珀。“系列重排的微积分。”在算法和复杂性：新方向和最新结果。程序。1976年卡内基梅隆会议（J.F.Traub编辑）。纽约：学术出版社，第121-1511976页。高斯珀，相对湿度。“今天的想法。”math-fun@cs.arizona.edu8月8日发布，1996.Guillera，J.“计算加泰罗尼亚常数的新公式”2019年5月8日。http://anamat.unizar。es/jguillera/其他/加泰罗尼亚表格.pdf.Lupas，A.“公式一些经典常数。“输入ROGER-2000会议记录。2000网址：http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/articles/alupas1.pdf.麦克Laughlin，J.《加泰罗尼亚常数的积分》，2007年9月27日。http://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe？A2=ind0709&L=nmbrthry&T=0&P=3444.尼尔森，N。《欧洲折衷法》。德国莱比锡：Halle，第105和151页，1909.Plouffe，S.“计算电流记录表常数。"http://pi.lacim.uqam.ca/eng/records_en.html.对手，与加泰罗尼亚常数相关的数字的丢番图性质数学。安。 326, 705-721, 2003.网址：http://www.mi.uni-koeln.de/~wzudilin/beta.pdf.斯隆，新泽西州。答：。顺序A006752号/M4593型在“整数序列在线百科全书”中斯利瓦斯塔瓦，H.M.公司。和E.A.Miller。“双超几何的一个简单的可约简例子包含加泰罗尼亚常数和黎曼泽塔函数的级数。"国际期刊。数学。教育。科学。Technol公司。 21, 375-377, 1990.瓦尔迪，I。计算数学娱乐。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，第159页，1991年。Yang先生，S.“加泰罗尼亚常数的一些性质G公司."国际数学杂志。教育。科学。Technol公司。 23,549-556, 1992.Zudilin，W.“类Apéry差分方程加泰罗尼亚常量。"电子J.组合数学 10，编号1，R142003年1月10日。http://www.combinatics.org/Volume_10/Abstracts/v10i1r14.html.

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加泰罗尼亚常数

引用如下：

奥列格·马里切夫;乔纳森·索多; 和埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“加泰罗尼亚人的恒定。“来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/加泰罗尼亚常数.html

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