黎曼ζ函数

伯恩哈德·黎曼在他1859年发表的著名论文中，分析继续欧拉zeta函数总的来说复平面（除了一个有序的单极1在

秒= 1

，对应于发散调和级数). 因此，它被称为黎曼-泽塔函数

ζ (秒)

，其中

秒= ℜ(秒) +我ℑ(秒) =σ+我 t吨

（这个符号是在他的论文中介绍的）。

分析延续

临界带右侧的解析延拓

以下无穷级数收敛于所有复数

秒

具有实部大于1，并定义

ζ  (秒)

在右侧的复杂平面中临界带钢，即针对

σ> 1

,

ζ  (秒):=   ∞ ∑   n个   = 1    1 n个  秒  =    第页 第页首要的 ∏   第页 第页首要的    第页  秒 第页  秒− 1  =    第页 第页首要的 ∏   第页 第页首要的    1 1 − 1 第页  秒 , ℜ(秒) > 1,

其中，在欧拉乘积（对于Riemann-zeta函数），乘积是全部素数

第页

.

临界带内的解析延拓

在临界带内，即

0 <σ< 1

，我们可以使用

ζ  (秒)  =  2 秒  − 1 2 秒  − 1− 1 η (秒)  =  1 1−2个 1 − 秒 η (秒)  =  1 1 − 2 1 − 秒   ∞ ∑   n个   = 1    (−1) n个 +1 n个  秒 , 0 < ℜ(秒) < 1,

哪里

η (秒)

是迪里克莱η功能(欧拉交替zeta函数)（收敛于

ℜ (秒) > 0

)

η (秒):=   ∞ ∑   n个   = 1    (−1) n个 +1 n个  秒 ,  ℜ(秒)>0。

临界带左侧的解析延拓

在临界带的左侧，即

σ< 0

，我们可以使用函数方程

ζ  (秒)  = 2 秒π  秒  − 1罪  π  秒 2    Γ(1 −秒) ζ  (1 −秒),  ℜ(秒) < 0,

它揭示了平凡零点对于负偶数整数，因为

罪(  π  秒 2 ) = 0

即使如此

秒

.

积分公式

所有复数的Riemann-zeta函数

秒

带实数部分

σ> 1

，由积分给出

ζ  (秒)  =  1 Γ(秒) ∫ ∞ 0 t吨  秒  − 1 e（电子） t吨− 1 d日 t吨,  ℜ(秒)>1时，

哪里

Γ(n个)

是Gamma函数.

黎曼-泽塔函数的洛朗展开

关于Riemann-zeta函数的Laurent展开

秒= 1

是

ζ  (秒)  =  1 秒− 1 +   ∞ ∑   n个   = 0    (−1) n个 n个！ γn个(秒−1） n个 =  1 秒− 1 +γ+   ∞ ∑   n个   = 1    (−1) n个 n个！ γn个(秒− 1) n个,

哪里 

γ=γ0

是欧拉–马斯切罗尼常数和

γn个

是Stieltjes常数，有时称为广义欧拉常数.

自

秒 → 1林秒 → 1 ζ  (秒) − 1 秒− 1  = γ,

这意味着 

γ0=γ

.

非负整数的Riemann zeta函数

非负偶整数的Riemann zeta函数

负的Riemann-zeta函数偶数整数是0（这些是平凡零点Riemann-zeta函数）。

非负的Riemann-zeta函数偶数整数由给出（注意

ζ  (0) =  −  1 2

是唯一的有理数对于非负偶数整数）

ζ  (2 n个)  =  (−1) n个 +1 2 2 n个 − 1 B类2 n个π 2 n个 (2 n个)! , n个≥ 0,

哪里

B类n个

是伯努利数。的值

ζ  (2 n个),n个  ≥   1,

是超越数（a）有理数次

π 2n个

).

偶整数的Riemann zeta函数

2 n个	ζ (2 n个) n个  ≥   0	十进制展开 （十进制数字序列）	A编号
0	负极 1 2	− 0.5 {5}
2	π 2 6	1.644934066848226436472415166646... {1, 6, 4, 4, 9, 3, 4, 0, 6, 6, 8, 4, 8, 2, 2, 6, 4, 3, 6, 4, 7, 2, 4, 1, 5, 1, 6, 6, 6, 4, 6, 0, 2, 5, 1, 8, 9, 2, 1, 8, 9, 4, 9, 9, 0, 1, 2, 0, 6, 7, 9, 8, 4, 3, 7, 7, 3, 5, 5, 5, ...}	A013661美元
4	π 4 90	1.082323233711138191516003696541... {1, 0, 8, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 3, 7, 1, 1, 1, 3, 8, 1, 9, 1, 5, 1, 6, 0, 0, 3, 6, 9, 6, 5, 4, 1, 1, 6, 7, 9, 0, 2, 7, 7, 4, 7, 5, 0, 9, 5, 1, 9, 1, 8, 7, 2, 6, 9, 0, 7, 6, 8, 2, 9, 7, ...}	A013662号
6	π 6 945	1.0173430619844491397145179297909... {1, 0, 1, 7, 3, 4, 3, 0, 6, 1, 9, 8, 4, 4, 4, 9, 1, 3, 9, 7, 1, 4, 5, 1, 7, 9, 2, 9, 7, 9, 0, 9, 2, 0, 5, 2, 7, 9, 0, 1, 8, 1, 7, 4, 9, 0, 0, 3, 2, 8, 5, 3, 5, 6, 1, 8, 4, 2, 4, 0, ...}	A013664号
8	π 8 9450	1.004077356197944339378685238508... {1, 0, 0, 4, 0, 7, 7, 3, 5, 6, 1, 9, 7, 9, 4, 4, 3, 3, 9, 3, 7, 8, 6, 8, 5, 2, 3, 8, 5, 0, 8, 6, 5, 2, 4, 6, 5, 2, 5, 8, 9, 6, 0, 7, 9, 0, 6, 4, 9, 8, 5, 0, 0, 2, 0, 3, 2, 9, 1, 1, ...}	A013666号
10	π 10 93555	1.0009945751278180853371459589003... {1, 0, 0, 0, 9, 9, 4, 5, 7, 5, 1, 2, 7, 8, 1, 8, 0, 8, 5, 3, 3, 7, 1, 4, 5, 9, 5, 8, 9, 0, 0, 3, 1, 9, 0, 1, 7, 0, 0, 6, 0, 1, 9, 5, 3, 1, 5, 6, 4, 4, 7, 7, 5, 1, 7, 2, 5, 7, 7, 8, ...}	A013668号
12	π 12 638512875	1.0002460865533080482986379980477... {1, 0, 0, 0, 2, 4, 6, 0, 8, 6, 5, 5, 3, 3, 0, 8, 0, 4, 8, 2, 9, 8, 6, 3, 7, 9, 9, 8, 0, 4, 7, 7, 3, 9, 6, 7, 0, 9, 6, 0, 4, 1, 6, 0, 8, 8, 4, 5, 8, 0, 0, 3, 4, 0, 4, 5, 3, 3, 0, 4, ...}	A013670型
14	π 14 18243225	1.00006124813505870482925854510513... {1, 0, 0, 0, 0, 6, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 5, 0, 5, 8, 7, 0, 4, 8, 2, 9, 2, 5, 8, 5, 4, 5, 1, 0, 5, 1, 3, 5, 3, 3, 3, 7, 4, 7, 4, 8, 1, 6, 9, 6, 1, 6, 9, 1, 5, 4, 5, 4, 9, 4, 8, 2, 7, 5, ...}	A013672号
16	π 16 325641566250	1.0000152822594086518717325714876367... ｛1，0，0，1，5，2，8，2，2，5，9，4，0，8，6，5，1，8，7，1，7，3，2，5，7，1，4，8，7，6，3，6，7，2，0，2，3，2，3，3，7，3，8，9，0，4，7，1，5，3，1，5，3，1，0，…｝	A013674号
18	π 18 38979295480125	1.0000038172932649998398564616446219... {1, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 8, 1, 7, 2, 9, 3, 2, 6, 4, 9, 9, 9, 8, 3, 9, 8, 5, 6, 4, 6, 1, 6, 4, 4, 6, 2, 1, 9, 3, 9, 7, 3, 0, 4, 5, 4, 6, 9, 7, 2, 1, 8, 9, 5, 3, 3, 3, 1, 1, 4, 3, 1, 7, ...}	A013676美元
20	π 20 1531329465290625	1.0000009539620338727961131520386834... {1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 9, 5, 3, 9, 6, 2, 0, 3, 3, 8, 7, 2, 7, 9, 6, 1, 1, 3, 1, 5, 2, 0, 3, 8, 6, 8, 3, 4, 4, 9, 3, 4, 5, 9, 4, 3, 7, 9, 4, 1, 8, 7, 4, 1, 0, 5, 9, 5, 7, 5, 0, 0, 5, ...}	A013678美元

非负偶整数Riemann zeta函数的生成函数

偶数zeta常数，

ζ  (2 n个),n个  ≥   0

，拥有生成函数

G公司{ζ  (2 n个)}(x个):=   ∞ ∑   n个   = 0    ζ  (2 n个)x个 2 n个 =  − π  x个 2 帆布床 (π  x个)  =  − 1 2 + π 2 6 x个 2+ π 4 90 x个 4+ π 6 945 x个 6+⋯,

哪里

帆布床 (π x个)

是余切功能。
对于

ζ  (2 n个) π 2 n个 ,n个  ≥   0,

拥有生成函数

G公司{ ζ  (2 n个) π 2 n个 }(x个):=   ∞ ∑   n个   = 0    ζ  (2 n个) π 2 n个 x个 2 n个 =  − x个 2 帆布床x个=− 1 2 + 1 6 x个 2+ 1 90 x个 4+ 1 945 x个 6+⋯,

哪里

帆布床x个

是余切函数。

非负奇整数的Riemann zeta函数

的黎曼ζ函数奇数整数没有已知的封闭式公式。这些值是否为不合理的（除了阿佩里常数

ζ  (3)

，被证明是不合理的罗杰·阿佩里)更别说了超越的.

非负奇整数的Riemann zeta函数（除了1，在那里我们有秩序1)由积分给出

ζ  (2 n个+ 1) = 1 (2 n个)! ∫ ∞ 0 t吨  2 n个 e（电子）  t吨− 1 d日 t吨, n个≥ 1.

奇整数的Riemann zeta函数

2 n个+ 1	ζ (2 n个+ 1) n个  ≥   0	十进制展开 （十进制数字序列）	A编号
1	电杆 （订单1）	∞ （这是黎曼ζ函数的1阶唯一极点）( ζ  (1) 提供了谐波级数)
三	1 2! ∫ ∞ 0 t吨 2 e（电子）  t吨 −  1  d日 t吨	1.2020569031595942853997381615114... {1, 2, 0, 2, 0, 5, 6, 9, 0, 3, 1, 5, 9, 5, 9, 4, 2, 8, 5, 3, 9, 9, 7, 3, 8, 1, 6, 1, 5, 1, 1, 4, 4, 9, 9, 9, 0, 7, 6, 4, 9, 8, 6, 2, 9, 2, 3, 4, 0, 4, 9, 8, 8, 8, 1, 7, 9, 2, 2, 7, ...}	A002117号
5	1 4! ∫ ∞ 0 t吨 4 e（电子）  t吨 −  1  d日 t吨	1.036927755143369926331365486457... {1, 0, 3, 6, 9, 2, 7, 7, 5, 5, 1, 4, 3, 3, 6, 9, 9, 2, 6, 3, 3, 1, 3, 6, 5, 4, 8, 6, 4, 5, 7, 0, 3, 4, 1, 6, 8, 0, 5, 7, 0, 8, 0, 9, 1, 9, 5, 0, 1, 9, 1, 2, 8, 1, 1, 9, 7, 4, 1, 9, ...}	A013663号
7	1 6! ∫ ∞ 0 t吨 6 e（电子）  t吨 −  1  d日 t吨	1.008349277381922826839797549849... {1, 0, 0, 8, 3, 4, 9, 2, 7, 7, 3, 8, 1, 9, 2, 2, 8, 2, 6, 8, 3, 9, 7, 9, 7, 5, 4, 9, 8, 4, 9, 7, 9, 6, 7, 5, 9, 5, 9, 9, 8, 6, 3, 5, 6, 0, 5, 6, 5, 2, 3, 8, 7, 0, 6, 4, 1, 7, 2, 8, ...}	A013665号
9	1 8! ∫ ∞ 0 t吨 8 e（电子）  t吨 −  1  d日 t吨	1.002008392826082214417852769232... {1, 0, 0, 2, 0, 0, 8, 3, 9, 2, 8, 2, 6, 0, 8, 2, 2, 1, 4, 4, 1, 7, 8, 5, 2, 7, 6, 9, 2, 3, 2, 4, 1, 2, 0, 6, 0, 4, 8, 5, 6, 0, 5, 8, 5, 1, 3, 9, 4, 8, 8, 8, 7, 5, 6, 5, 4, 8, 5, 9, ...}	A013667号
11	1 10！ ∫ ∞ 0 t吨 10 e（电子）  t吨 −  1  d日 t吨	1.000494188604119464558702282526... {1, 0, 0, 0, 4, 9, 4, 1, 8, 8, 6, 0, 4, 1, 1, 9, 4, 6, 4, 5, 5, 8, 7, 0, 2, 2, 8, 2, 5, 2, 6, 4, 6, 9, 9, 3, 6, 4, 6, 8, 6, 0, 6, 4, 3, 5, 7, 5, 8, 2, 0, 8, 6, 1, 7, 1, 1, 9, 1, 4, ...}	A013669号
13	1 12! ∫ ∞ 0 t吨 12 e（电子）  t吨 −  1  d日 t吨	1.000122713347578489146751836526... ｛1、0、0、1、2、2、7、1、3、3、4、7、5、7、8、4、8、9、1、4、6、7、5、1、8、3、6、5、2、6、3、5、7、3、9、5、7、1、4、2、7、5、1、0、5、8、9、5、5、0、9、8、4、5、1、3、6、7、0、…｝	A013671号
15	1 14! ∫ ∞ 0 t吨 14 e（电子）  t吨 −  1  d日 t吨	1.000030588236307020493551728510... {1, 0, 0, 0, 0, 3, 0, 5, 8, 8, 2, 3, 6, 3, 0, 7, 0, 2, 0, 4, 9, 3, 5, 5, 1, 7, 2, 8, 5, 1, 0, 6, 4, 5, 0, 6, 2, 5, 8, 7, 6, 2, 7, 9, 4, 8, 7, 0, 6, 8, 5, 8, 1, 7, 7, 5, 0, 6, 5, 6, ...}	A013673号
17	1 16! ∫ ∞ 0 t吨 16 e（电子）  t吨 −  1  d日 t吨	1.000007637197637899762273600293... {1, 0, 0, 0, 0, 0, 7, 6, 3, 7, 1, 9, 7, 6, 3, 7, 8, 9, 9, 7, 6, 2, 2, 7, 3, 6, 0, 0, 2, 9, 3, 5, 6, 3, 0, 2, 9, 2, 1, 3, 0, 8, 8, 2, 4, 9, 0, 9, 0, 2, 6, 2, 6, 7, 9, 0, 9, 5, 3, 7, ...}	A013675号
19	1 18! ∫ ∞ 0 t吨 18 e（电子）  t吨 −  1  d日 t吨	1.00000190821271655393892565695779... {1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 9, 0, 8, 2, 1, 2, 7, 1, 6, 5, 5, 3, 9, 3, 8, 9, 2, 5, 6, 5, 6, 9, 5, 7, 7, 9, 5, 1, 0, 1, 3, 5, 3, 2, 5, 8, 5, 7, 1, 1, 4, 4, 8, 3, 8, 6, 3, 0, 2, 3, 5, 9, 3, ...}	A013677号

零点

琐碎的零

黎曼zeta函数的平凡零点是复数具有实部对应于负偶数：

{–2, –4, –6, –8, –10, –12, –14, –16, –18, –20, –22, –24, –26, –28, –30, –32, –34, –36, –38, –40, –42, –44, –46, –48, –50, –52, –54, –56, –58, –60, –62, –64, –66, –68, –70, –72, –74, –76, –78, –80, ...}

非平凡零

除了平凡的零（甚至是负整数），黎曼ζ函数在临界带钢 0 <σ< 1由线条分隔σ= 0和σ= 1（零也不能“离得太近”）。此外，非平凡零点围绕实轴对称临界线 σ= 1/2根据黎曼假设，他们都躺在线上σ= 1/2.

这个非平凡零黎曼-泽塔函数出现在临界带钢

0 <σ< 1

秒 = σ+我 t吨,  0 <σ< 1,

其中零成对出现（如果

ϵ  ≠   0

)通过临界线反射（对应于实部

1 2

)

秒 =  (  1 2 ±ϵ ) +我 t吨,  0 ≤ϵ< 1 2 ,

及其共轭物

s̅ =  (  1 2 ±ϵ ) −我 t吨,  0 ≤ϵ< 1 2 .

Riemann zeta函数的所有已知非平凡零点都有实部

1 2

.黎曼-泽塔函数可以用非平凡零点表示为（注意极点1在

秒= 1

)

ζ  (秒) = π  秒 / 2 秒 (秒− 1) Γ(  秒 2 )     ρ ∏   ρ     1 − 秒 ρ    = π  秒 / 2 秒 (秒− 1) Γ(  秒 2 )     ρ: ℑ( ρ)  >  0 ∏   ρ: ℑ( ρ)  >  0      | ρ |  2− 2 秒 ℜ( ρ) +秒 2 | ρ |  2   ,

哪里

Γ(秒)

是Gamma函数、和

ρ

是一个非平凡的零（注意对于每个非平凡的零值

ρ

在复平面的上半部分，我们有一个对应的零

x个̅ρ

，其复共轭，位于复杂平面的下半部分。

黎曼假设

在他1859年发表的著名论文中，伯恩哈德·里曼（Bernhard Riemann）提出了这个猜想（用作许多人的假设条件证明在数论中）

假设（黎曼假设，1859）。 (黎曼)

所有的非平凡零点（Riemann zeta函数的）都有实部

1 2

，即。

秒 =  (  1 2 ±ϵ ) +我 t吨, ϵ= 0.

由于许多“条件证明”都假设猜想是真的，所以它被称为黎曼假设。非平凡的零显示有关素数的分布：非平凡零的实部越接近

1 2

素数的分布越规则。

非平凡零表

黎曼zeta函数的前100个（非平凡的）零，精确到超过1000个小数位.

非平凡零表

n个	虚拟零件（底座10)第页，共页 n个 第个非平凡零点（实轴上方）	组织环境信息系统
1	14.134725141734693790457251983562470270784257115699243175685567460149...	A058303号
2	21.022039638771554992628479593896902777334340524902781754629520403587...	A065434号
三	25.010857580145688763213790992562821818659549672557996672496542006745...	A065452号
4	30.424876125859513210311897530584091320181560023715440180962146036993...	A065453号
5	32.935061587739189690662368964074903488812715603517039009280003440784...	A192492号
6	37.586178158825671257217763480705332821405597350830793218333001113622...
7	40.918719012147495187398126914633254395726165962777279536161303667253...
8	43.327073280914999519496122165406805782645668371836871446878893685521...
9	48.005150881167159727942472749427516041686844001144425117775312519814。。。
10	49.773832477672302181916784678563724057723178299676662100781955750433...
11	52.970321477714460644147296608880990063825017888821224779900748140317...
12	56.446247697063394804367759476706127552782264471716631845450969843958...
13	59.347044002602353079653648674992219031098772806466669698122451754746...
14	60.83177852460980984425990182452400380291009045121917825711348824808。。。
15	65.112544048081606660875054253183705029348149295166722405966501086675...
16	67.079810529494173714478828896522216770107144951745558874196669551694...
17	69.546401711173979252926857526554738443012474209602510157324539999663...
18	72.067157674481907582522107969826168390480906621456697086683306151488...
19	75.704690699083933168326916762030345922811903530697400301647775301574...
20	77.144840068874805372682664856304637015796032449234461041765231453151...
21	79.337375020249367922763592877116228190613246743120030878438720497101...
22	82.910380854086030183164837494770609497508880593782149146571306283235...
23	84.735492980517050105735311206827741417106627934240818702735529689045...
24	87.425274613125229406531667850919213252171886401269028186455557938439...
25	88.809111207634465423682348079509378395444893409818675042199871618814...
26	92.491899270558484296259725241810684878721794027730646175096750489181...
27	94.651344040519886966597925815208153937728027015654852019592474274513...
28	95.870634228245309758741029219246781695256461224987998420529281651651...
29	98.831194218193692233324420138622327820658039063428196102819321727565...
30	101.31785100573139122878544794029230890633286638430089479992831871523...
31	103.72553804047833941639840810869528083448117306949576451988516579403...
32	105.44662305232609449367083241411180899728275392853513848056944711418...
33	107.16861118427640751512335196308619121347670788140476527926471042155...
34	111.02953554316967452465645030994435041534596839007305684619079476550...
35	111.87465917699263708561207871677059496031174987338587381661941961969...
36	114.32022091545271276589093727619107980991765772382989228772843104130...
37	116.22668032085755438216080431206475512732985123238322028386264231147...
38	118.79078286597621732297913970269982434730621059280938278419371651419...
39	121.37012500242064591894553297049992272300131063172874230257513263573...
40	122.94682929355258820081746033077001649621438987386351721195003491528...
41	124.25681855434576718473200796612992444157353877469356114035507691395。。。
42	127.51668387959649512427932376690607626808830988155498248279977930068...
43	129.57870419995605098576803390617997360864095326465943103047083999886...
44	131.08768853093265672356637246150134905920354750297504538313992440777...
45	133.49773720299758645013049204264060766497417494390467501510225885516...
46	134.75650975337387133132606415716973617839606861364716441697609317354...
47	138.11604205453344320019155519028244785983527462414623568534482856865。。。
48	139.73620895212138895045004652338246084679005256538260308137013541090...
49	141.12370740402112376194035381847535509030066087974762003210466509596...
50	143.11184580762063273940512386891392996623310243035463254859852295728...

与非平凡零相关的序列

A002410号 最接近的整数到的虚部

n个

-黎曼zeta函数的零点。

{14, 21, 25, 30, 33, 38, 41, 43, 48, 50, 53, 56, 59, 61, 65, 67, 70, 72, 76, 77, 79, 83, 85, 87, 89, 92, 95, 96, 99, 101, 104, 105, 107, 111, 112, 114, 116, 119, 121, 123, 124, 128, 130, 131, 133, 135, 138, ...}

A013629号 地板黎曼-泽塔函数零点的虚部。

{14, 21, 25, 30, 32, 37, 40, 43, 48, 49, 52, 56, 59, 60, 65, 67, 69, 72, 75, 77, 79, 82, 84, 87, 88, 92, 94, 95, 98, 101, 103, 105, 107, 111, 111, 114, 116, 118, 121, 122, 124, 127, 129, 131, 133, 134, 138, ...}

A092783号 天花板黎曼-泽塔函数零点的虚部。

{15, 22, 26, 31, 33, 38, 41, 44, 49, 50, 53, 57, 60, 61, 66, 68, 70, 73, 76, 78, 80, 83, 85, 88, 89, 93, 95, 96, 99, 102, 104, 106, 108, 112, 112, 115, 117, 119, 122, 123, 125, 128, 130, 132, 134, 135, 139, ...}

A135297号上Riemann zeta函数零点的数目临界线，小于

n个

.

{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 16, ...}

A161914号Riemann zeta函数的非平凡零点之间的间隙，四舍五入为最接近的整数

一 (1) = 14

.

{14, 7, 4, 5, 3, 5, 3, 2, 5, 2, 3, 3, 3, 1, 4, 2, 2, 3, 4, 1, 2, 4, 2, 3, 1, 4, 2, 1, 3, 2, 2, 2, 2, 4, 1, 2, 2, 3, 3, 2, 1, 3, 2, 2, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 3, 1, 3, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 1, 2, ...}

A124288号黎曼-泽塔函数不稳定零点的指数。

{1、3、6、9、13、17、21、26、30、33、40、44、50、54、61、67、70、78、79、90、93、101、109、112、117、124、134、139、147、149、153、165、167、175、186、189、197、201、214、218、219、234、235、240、253、255…}

A124289号不稳定双胞胎：连续数对A124288号（黎曼-泽塔函数不稳定零点的指数）。

{78, 79, 218, 219, 234, 235, 299, 300, 370, 371, 500, 501, ...}

100060澳元考虑临界线上Riemann zeta函数的非平凡零点，

1 2 +我 t吨

.

一 (n个)

表示虚部的第二个差为正（表示为1)或负值（表示为0).

{1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, ...}

A117537号这些是Riemann-zeta函数连续零点的中点在临界线归一化间距越来越大；等价地Z轴功能.如果

t吨

和

秒

是的连续零

Z轴

函数，我们将其规范化间距定义为

秒 − t吨 2 π对数 秒+t吨 4 π

。通过以下步骤可以找到上述序列

第页= 日志2 2 π  ⋅   秒+t吨 2

并舍入到最接近的整数。这些值

第页

具有接近整数值的显著趋势，并且上述序列的所有项实际上都包含在区间中

日志2 2 π ·[秒,t吨]

.

{2, 3, 5, 7, 12, 19, 31, 46, 53, 72, 270, 311, 954, 1178, 1308, 1395, 1578, 3395, 4190, ...}

黎曼-泽塔函数的绝对值

Riemann-zeta函数沿临界线的绝对值峰值

A117536号这些是黎曼-泽塔函数绝对值越来越大的峰值沿临界线等效地

Z轴

增加实数的函数

t吨

.如果

Z轴 ′(秒) = 0

是的导数的正零点

Z轴

，然后

| Z轴 (秒) |

是峰值。我们重新规范化

秒

通过

第页=秒 ⋅   日志2 2 π

并舍入到最接近的整数以获得序列的项。这些值的小数部分不是随机分布的；

第页

显示出非常强的接近整数的趋势。

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 12, 19, 22, 27, 31, 41, 53, 72, 99, 118, 130, 152, 171, 217, 224, 270, 342, 422, 441, 494, 742, 764, 935, 954, 1012, 1106, 1178, 1236, 1395, 1448, 1578, 2460, 2684, 3395, 5585, ...}

A117538号临界线上连续零点之间黎曼-泽塔函数绝对值积分增加峰值的位置。这也可以定义为

Z轴

功能；如果

秒

和

t吨

是重整化的连续零

Z轴

功能，

z（z） (x个) = 2 π 日志2  ⋅  x个 Z轴 (x个)

，然后取两者之间的积分

秒

和

t吨

属于

| Z轴 (秒) |

对于该积分的每个连续较高值，整数序列的对应项为

第页= 秒+t吨 2

四舍五入到最接近的整数。

{2、5、7、12、19、31、41、53、72、130、171、224、270、764、954、1178、1395、1578、2684、3395、7033、8269、8539、14348、16808、36269、58973…}

另请参见

• 泽塔（2）
• 泽塔（3）(阿佩里常数)

• 欧拉zeta函数
• 黎曼-泽塔函数
• Euler产品
• 欧拉交替zeta函数
• 素数zeta函数
• Hurwitz zeta函数
• 多元zeta函数

• 迪里克莱L（左）-功能

工具书类

• 伯恩哈德·里曼，Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse（关于小于给定数量的素数）1859年11月，柏林阿卡德米修道院。

外部链接

• Andrew Odlyzko，黎曼-泽塔函数的零点表.