用户：Peter Luschny/SchinzelSierpinskiConjectureAndCalkinWilfTree

Schinzel-Sierpinski猜想
和Calkin-Wolf树。

关键词：Schinzel-Sierpinski猜想，Calkin-Wilf树，半素数，超奇异素数。

与序列有关：A000790号，A001358号，A002267号，A060324型，A062251号，A108574号，A108764号.

介绍

Schinzel和Sierpinski的一个猜想断言，每一个正理性数字r可以表示为移位素数的商，即

${\显示样式r={\ frac{p+1}{q+1}}\四元（p，q}$素数）。

事实上，我们预计不止会有这样一对素数，但有无穷多对。Schinzel和Sierpinski写道：

由代表发送的合理位置马尼埃尔地区（p+1）/（q+1）（p-1）/（q-1），o'p et q sonst des nombres首映。

我们将（通过计算）确定最小素数p，以便对于某些q素数，r=（p+1）/（q+1）。这对素数（p，q）我们将称为r的Schinzel-Sierpinski素数（如果存在这样的素数）。因此我们假设一张地图

${\显示样式\mathbb{Q}^{*}\rightarrow\mathbb{P}^{2}，\quad r\mapsto（P，Q）\，.}$

此外，如果p＜q，我们定义了sgn（p，q）＝1的编码，否则定义为-1

${\显示样式\mathbb{P}^{2}\rightarrow\mathbb{Z}；\（p，q）\mapsto\pm pq\，.}（p，q）\mapsto\pm pq\，.}$

此函数将被称为（正）有理数r=（p，q），p，q素数。在不太可能的情况下我们设置了一个与给定r对应的素数对按照惯例p=q=1。此外，我们定义了0→ 0

相反，让我们来解码39。39的主因子是3和13，因此39表示7/14=2/7，-39表示7/2。

整数的情况

Schinzel-Sierpinski素数很容易计算通过简单的搜索。

SchinzelSierpinskiPrimes:=进程（a，类型）局部p，q，p；P:=选择（isprime，[$1..4000]）：如果a=1，则返回（2）fi；对于p中的p do，对于p do中的q如果（p+1）/（q+1）=a，则`if`（type=“numer”，p，q）；返回（%）fiod od；打印（“需要更多素数！”）结束：

阿洛伊斯·海因茨指出，有一种效率更高的以及计算此函数返回的分母（q）的优雅方法函数，如果输入'a'是整数'n'。

a:=proc（n）局部q；q:=2；虽然不是质数（n*（q+1）-1）doq：=下一素数（q）；od；q个结束时间：

然而，只要Schinzel Sierpinski猜想没有证明这是势无限循环的经典实现。维基百科：“无限循环是计算机中的指令序列无休止循环的程序，或者由于循环没有终止条件，或者拥有一个永远无法满足的条件。”

附录中提供了全面有效的实施方法。请注意我们对r的分子和分母都使用一个函数。

A062251号：=n->SchinzelSierpinskiPrimes（n，“numer”）：A062251号= 2, 5, 11, 11, 19, 17, 41, 23, 53, 29, 43, 47, 103, 41,59, 47, 67, 53, 113, 59, 83, 131, 137, 71, 149, 103, 107, 83,A060324型：=n->SchinzelSierpinskiPrimes（n，“denom”）：A060324型= 2, 2, 3, 2, 3, 2, 5, 2, 5, 2, 3, 3, 7, 2, 3, 2,3, 2, 5, 2, 3, 5, 5, 2, 5, 3, 3, 2, 5, 2, 13, 3

卡尔金-威尔夫树

我们给出了计算Calkin-Wilf所需的两个函数树。有关详细信息和概括，我们请读者参阅博客“斯特恩硅藻阵列”（见下面的链接）。

DijkstraFusc:=proc（m）选项记忆；局部a、b、n；a:=1；b:=0；n：=米；当n>0时如果类型为（n，奇数），则b:=a+b，否则a:=a+b-fi；n：=iquo（n，2）od；b端：//返回Calkin-Wilf树的第n级CalkinWilfTree：=proc（n）local k；seq（DijkstraFusc（k）/DijkstraFusc（k+1），k=2^（n-1）。。2^n-1）结束：

有理数的情况

现在，我们将Schinzel-Sierpinski编码应用于Calkin-Whilf树。

辛泽尔·西尔宾斯基（Schinzel Sierpinski）：=proc（a，b）局部p，q，p；P:=选择（isprime，[1..4000]美元）：对于p中的p do，对于p do中的q如果（p+1）/（q+1）=a/b，则返回（`if`（a<b，-p*q，p*q））fiod od；打印（“需要更多的素数！”）结束：SchinzelSierpinskiEncodedCalkinWilfTree：=进程（n）局部l；seq（SchinzelSierpinski（numer（l），denom（l）），l=CalkinWilfTree（n））结束：seq（打印（SchinzelSierpinskiEncodedCalkinWilfTree（i）），i=0..5）；

情况r=（p+1）/（q+1）

//第一次遍历中的编码树[形式r=（p+1）/（q+1）]。A=4、-10、10、-33、15、-15、33、-22、6、-209、133、，-133, 209, -6, 22, -57, 667, -91, 65, -14, 589, -1189, 39,//编码树的最右边的分支，//即自然数的代码。seq（SchinzelSierpinski（n，1），n=1..42）；B=4、10、33、22、57、34、205、46、265、58、129、，141, 721, 82, 177, 94, 201, 106, 565, 118, 249, 655, 685,

这里有第三个有趣的序列：数字哪个是不出现在编码树中（除了符号）。这是A相对于半素数的补码A001358号. 例如，奇素数的平方不是B的成员（它们都是映射到“1”，但不满足最小条件）。

情况r=（p−1）/（q−1

Schinzel和Sierpinski在他们的猜想中还考虑了r=（p+1）/（q+1）也是形式r=（p-1）/（q−1）；事实上，这两种形式都是一个更普遍猜想的简单结果。所以让我们也看看这个例子。编码树开始

4,-6,6,-21,35,-35,21,-10,221,-77,55,-55,77,-221,10,

这将导致另一组序列。

//第一次遍历中的编码树[形式r=（p-1）/（q-1）]。4, -6, 6, -21, 35, -35, 21, -10, 221, -77, 55, -55, 77, -221, 10, -33, 46513, -493, 377, -119, 187, -1333, 559, -559, 1333, -187, 119,//这个编码树的最右边的分支，//即自然数的代码。4、6、21、10、33、14、145、51、57、22、69、26、265、87、93、34、721，38, 2101, 123, 129, 46, 141, 485, 505, 159, 545, 58, 177, 62,

与超奇异素数有联系吗？

CW树的编码中有任何模式吗？如果我们看看仅在前五行的正值处

4,10,33,15,22,6,209,133,57,(667),91,65,14,(589),(1189),39,

我们看到13个值，它们正好是两个超奇异素数的乘积（来自序列A108764号作者：Jonathan Vos Post）。这不是一个非常重要的一致性；然而，这是值得注意的它如何指向正确的方向：集团理论。众所周知移位素数集生成有理数（见参考文献）。

和Schinzel和Sierpinski的猜想可以用群论来表述。设Q*表示正有理数的乘法群，设G为由移位素数p+1生成的子群，然后是Schinzel猜想和Sierpinski可以表述为：Q*=G。

超奇异素数是一组素数划分一个大的零星群的群序，即所谓的怪物群。其他（零星）群体的群体秩序可能以什么方式反映在据我所知，编码的卡尔金-沃尔夫树还没有被研究过。

附录

CalkinWilfTree_level:=进程（n）局部k，DijkstraFusc；DijkstraFusc:=proc（m）选项记忆；局部a、b、n；a:=1；b:=0；n：=米；当n>0时如果类型为（n，奇数），则b:=a+b，否则a:=a+b-fi；n：=iquo（n，2）od；b端：seq（DijkstraFusc（k）/DijkstraFusc（k+1），k=2^（n-1）。。2^n-1）结束：对于从1到6的i，进行CalkinWilfTree_level（i）od；

#--一个快速且节省的实现。SchinzelSierpinski：=进程（l，素数类型，外型）局部a、b、r、p、q、uno、sgn、SearchLimit；a:=数字（l）；b:=denom（l）；搜索限制：=40000；q:=2；sgn:=`if`（a<b，-1，1）；uno:=`if`（primetype=“plus”，1，-1）；dor:=a*（q+uno）；如果r mod b=0，则p:=r/b-uno；如果是素数（p），则如果outtype=“pri”，则返回（p/q）elif outtype=“cod”然后返回（sgn*p*q）elif outtype=“num”然后返回（p）elif outtype=“den”然后返回（q）else ERROR（“类型规范错误！”）fi-fi-fi；q：=下一素数（q）；如果q>SearchLimit，则错误（“已达到搜索限制！输入为：”，a，b）fi（菲涅耳）od端：因为我从1到3做seq（SchinzelSierpinski（l，“加号”，“pri”），l=CalkinWilfTree_level（i））od；

调用SchinzelSierpinski中的参数（l，para1，para2）对于r=（p+1）/（q+1）类型的第1段“加”，以及类型r=（p-1）/（q-1）的“减号”。对于第2段：“pri”代表有理数p/q，p，q，素数的编码；“cod”用于编码到半素数；”num和den返回有理数的分子和分母。

工具书类

尼尔·卡尔金；Wilf，Herbert（2000），“重新计算理性”，Amer。数学。每月107（4）：360–363
E.Dijkstra，《计算机文选》，施普林格出版社，1982年，第232页。
艾略特，P·D·T·A。“移位素数产生的有理数的乘法群。I。”J·莱因·安格。数学。463（1995），第169–216页。
Elliott，P.D.T.A.“移位素数生成的有理数乘法组。II。”J.Reine Angew。数学。519 (2000), 59–71.
马修·康罗伊（Matthew M.Conroy），《与辛泽尔（Schinzel）猜想相关的序列》，J.Integ。序号。第4卷（2001年），第01.1.7号。
Schinzel，A.和Sierpinski，W.，“Sur certaines hyphaèses concernant les nombres premiers”，《阿里斯学报》。4, 185-208, 1958. 勘误表5（1958），第259页。

另请参见

斯特恩硅藻阵列