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活塞编号

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活塞数为正数代数整数大于1，所有共轭元素绝对值小于1。大于的实二次代数整数1和2度或3度是皮索数，如果其范数等于+/-1. The黄金比率 φ（表示θ0当被视为活塞数时）是一个示例活塞数，因为它有二度和标准-1.

最小的活塞数由积极的 根 θ_1=1.324717957。。。（组织环境信息系统A060006型)第页，共页

x^3-x-1=0，
(1)

被称为塑性常数这一数字被萨勒姆（Salem）（1944）确定为已知的最小数字，并被证明是可能的最小数字西格尔（1944）。

活塞常数

活塞常数导致几乎整数例如，功率越大θ_1越靠近θ1^n-|_θ1^n_|，其中|_x个_|是楼层功能,为0或1（Trott 2004）。例如，壮观的例子θ_1^（27369）在中1.18463×10^(-1671)整数（Trott 2004，第8-9页）。

The powers ofθ_1这个数量接近于0的是1、3、4、5、6、7、8、11、12、14、17。..（组织环境信息系统A051016号)，而对于那些接近1的是2、9、10、13、15、16、18、20、21、23、。..（OEIS）A051017号).

西格尔还将第二小的活塞数确定为正根θ_2=1.38027756。。。（组织环境信息系统A086106号)属于

x^4-x^3-1=0，
(2)

表明了这一点θ_1和θ_2是孤立的，并表明每一个的正根多项式的

x^n（x^2-x-1）+x^2-1
(3)

对于n=1, 2, 3, ...,

x^n-（x^（n+1）-1）/（x^2-1）
(4)

对于n=3, 5, 7, ...、和

x^n-（x^（n-1）-1）/（x-1）
(5)

对于n=3, 5, 7, ...是活塞数。

所有小于黄金比率 φ众所周知（杜弗雷斯诺和皮索1955）。下面给出了一些小Pisot数及其最小多项式表。后两个条目来自Boyd（1977）。

活塞数常数OEIS公司价值秩序多项式的
θ0金色的比率 φA001622号1.6180339887...2x^2-x-1
θ_1塑料常数 对A060006型1.3247179572...三x^3-x-1
θ_2芝加哥A086106号1.3802775690...4x^4-x^3-1
θ_3A228777号1.4432687912...5x^5-x^4-x^3+x^2-1
θ_4超级黄金比率 磅/平方英寸A092526号1.4655712318...三x^3-x^2-1
θ_5A293508型1.5015948035...6x^6-x^5-x^4+x^2-1
θ_6A293509型1.5341577449...5x^5-x^3-x^2-x-1
θ7A293557型1.5452156497...7x^7-x^6-x^5+x^2-1
θ_8A374002型1.5617520677...6x^6-2x^5+x^4-x^2+x-1
θ_9A293506型1.5701473121...5x^5-x^4-x^2-1
θ_（10）A374003型1.5736789683...8x^8-x^7-x^6+x^2-1
θ_（16）1.6216584885...16x ^（16）-2x^（15）+2x^
θ_（20）1.8374664495...20x（20）-2x^（19）+x（17）-x（16）+x

如前表所示，最小多项式、次最小多项式等的阶数。活塞数由3、4、5、3、6、5、，7, 6, 5, 8, ...（OEIS）A381191型).

活塞数最初是在考虑

压裂（x）=x-|x_|
(6)

哪里压裂（x）表示小数部分属于x个和|_x个_|是楼层功能.出租θ是大于1的数字，并且λ一积极的数字，用于鉴于λ,数字的序列压裂（lambdatheta^n）对于n=1, 2, ...是一个等分布的序列在间隔（0，1）中，当θ不属于λ-相依例外集S公司属于测量零点（Koksma 1935）。Pisot（1938）和Vijayaraghavan（1941）独立研究了异常值属于θ，Salem（1943）提议这样的值Pisot-Vijayaraghavan数字。

Pisot（1938）后来证明，如果θ被选择为存在兰姆达！=0其中系列

sum_（n=0）^inftysin^2（pilambdatheta^n）
(7)

收敛，然后θ是一个代数整数其共轭所有（除自身外）具有模量<1、和λ是一个代数整数的领域 K（θ）Vijayaraghavan（1940）证明数字有无穷多极限点萨勒姆（1944）证明了活塞数集是封闭的。这个定理的证明是基于上引理那是一个活塞号码θ，始终存在一个数字λ使得1<=λ<θ并且满足以下不等式：

sum_（n=0）^inftysin^2（pilambdatheta^n）<=（pi^2（2theta+1）^2）/（（theta-1）^2。
(8)

另请参见

近似整数,等分布序列,黄金比例,莱默氏马勒度量问题,塑性常数,塞勒姆常数,超级黄金比率,韦尔准则

本条目的部分内容由大卫地球

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参考Wolfram | Alpha

皮索编号

引用如下：

大卫·特尔和埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“皮索数字。”来自数学世界--一只狼资源。https://mathworld.wolfram.com/PisotNumber.html

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