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直线交叉数


图的直线交叉数G公司是一个直的线嵌入属于G公司在飞机上。它有不同的含义rcr(G),cr^_(G)(谢弗2017),RCN(G),或nu^_(G).

有时有人声称,直线交叉数也称为线性或几何交叉数,但证据并不充分(Schafer 2017)。

A类断开连接图具有一个等于其有联系的组件.

当(非直线)图交叉数满足cr(G)<=3,

 rcrnu(G)=rcr(G)
(1)

(Bienstock和Dean,1993年)。虽然Bienstock和Dean实际上并没有证明案件的平等性rcr(G)=3,他们说它可以类似于rcr(G)<=2。结果不能扩展到cr≤4,因为存在图形G公司具有cr(G)=4但是rcr(G)=米对于任何m> =4(Bienstock和Dean,1993年;Schaefer,2017年,第54页)。

G.Exo(pers.comm.,2019年5月11日至12日)编写了一个程序,可以计算三次图的直线交叉数,对于任意简单图,可以计算多达20个顶点和多达11个或12个顶点。

其中最小的简单图rcr(G)>cr(G)发生在8个节点上。以下四个示例总结如下表所示。

图表cr(G)rcr(G)
16芯图表K_(4×2)68
(8,5)-图兰图910
8-双环图8910
完成图表 K_8公司1819

对于完全图 K_n(未知)订单的n> =10,直线交叉数始终大于一般图的交叉数。对于完成图表 K_n(未知)具有n=1,2, ...,rcr(K_n)是0、0、0,0、1、3、9、19、36、62。。。(组织环境信息系统A014540型;怀特和贝内克1978年,舍内曼和威尔夫1994年)。虽然早就知道了那个rcr(K_(10))61岁或62岁(辛格1971年,加德纳1986年),最终被证明是62岁布罗德斯基等。(2000, 2001). 这个案子n=11于2004年定居,年龄为102岁。直线交叉口编号项目(http://www.ist.tugraz.at/staff/aichholzer/crossings.html)已找到的所有值n≤17以及最近的数学考虑,的直线交叉数n=19n=21也是已知的。此时,剩余的最小值未解决的是n=20.

直线交叉编号K

下表总结了已知结果(直线交叉数项目),上面说明了具有最小直线交叉数的嵌入(阅读和Wilson 1998,第282-283页,错误嵌入了K_9公司已更正)。

n个rcr(K_n)非同构嵌入
0
40
511
61
79
8192
93610
10622
11102374
121531
132294534
1432420
1544716001
1660336
17798>=37269
181029>=1
191318>=13243
20[16521657]>=6
212055?
22【25212528】?
23[30753077]?
24[3690,3699]?
25[4426,4430]?

Singer(1971)提供了上限,他表明

 rcr(K_n)<=1/(312)(5n^4-39n^3+91n^2-57n),
(2)

和Jensen(1971),他们证明了

 rcr(K_n)<=7/(432)n^4+O(n^3)。
(3)

最著名的界限如下所示

 (3/8+ε)(n;4)+O(n^3)<rcr(K_n)<0.3807(n;4+O(n ^3),
(4)

哪里ε约10^(-5).上限是由于Aichholzer等。(2002)和下限洛瓦兹等。(2004). 略弱的界限3/8(n;4)被阿尔布雷戈和费尔南德斯·默坎德独立证明(2003). 小型ε下限中的项很重要,因为它表明完全图的交叉数和直线交叉数不同在领导任期内。特别是,已知存在非线性嵌入属于K_n(未知)具有3/8(n;4)+O(n^3)《穿越》(Moon 1965,Guy 1967)。

出租

 ρ=lim_(n->infty)(rcr(K_n))/((n;4)),
(5)

已知的最佳边界是

 0.290<(61)/(210)<=ρ<=5/(13)<0.385,
(6)

哪里(n;k)是一个二项式系数和精确值属于ρ未知(Finch 2003)。

直线交叉数与意外连接西尔维斯特的四点问题(Finch 2003)。


另请参见

图形交叉数,平面直线埋设,投影(Projective)平面交叉编号,西尔维斯特的四点问题,环形交叉编号

本条目的部分内容由乌利瓦格纳

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工具书类

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参考Wolfram | Alpha

直线交叉数

引用如下:

乌里·瓦格纳埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“直线交叉编号。”来自数学世界--A类Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/RectilinerCrossingNumber.html(数学世界)

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