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卡西尼椭圆


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卡西尼椭圆是一个家族四次曲线,也称为卡西尼椭圆,用一个点来描述,其距离的乘积距离两个固定点2a个间隔是一个常数b^2号曲线的形状取决于银行账户.如果a<b,曲线是带有椭圆形(上图左图)或狗骨(第二图)形状。这个案子a=b生成一个柠檬状的(第三图)。如果a> b条,然后曲线由两个回路组成(右图)。卡西尼椭圆非岩浆的曲线

CassiniOval曲线

值的一系列椭圆b/a=0.1到1.5如上文所示。

1680年,卡西尼在研究地球和太阳的相对运动时首次研究了这条曲线。卡西尼相信太阳围绕着地球在其中一个椭圆上,地球在其中集中椭圆形的。

卡西尼椭圆定义为两个中心双极的协调根据方程式

 r_1r_2=b^2,
(1)

原点在集中更令人难以置信的曲线是由一个点的轨迹产生的,该点的距离等于或大于3不动点是一个常数。

卡西尼椭圆有笛卡尔方程式

 [(x-a)^2+y^2][(x+a)^2+y^2]=b^4
(2)

或等效形式

 (x^2+y^2+a^2)^2-4a^2x^2=b^4
(3)

和极坐标方程

 r^4+a^4-2a^2r^2[1+cos(2theta)]=b^4。
(4)

解决第^2页使用二次方程给予

第^2页=(2a^2cos(2theta)+/-平方(4a^4cos^2(2heta)-4(a^4-b^4)))/2
(5)
=a^2cos(2theta)+/-平方(a^4cos^2(2heta)+b^4-a^4)
(6)
=a^2cos(2theta)+/-平方(a^4[cos^2(2heta)-1]+b^4)
(7)
=a^2cos(2theta)+/-平方(b^4-a^4sin^2(2heta))
(8)
=a^2[cos(2theta)+/-sqrt((b/a)^4-sin^2(2theda))]。
(9)

让一个圆环体管半径的一被一个垂直于环面平面的平面切割质心。称此平面到圆环孔中心的距离对,让a=r,并考虑该平面与圆环的交点作为对多种多样。所得曲线为卡西尼曲线椭圆形,带有柠檬状的发生于r=1/2因此,卡西尼椭圆复曲面部分

如果a<b,曲线有地区

A类=1/2分之一
(10)
=2(1/2)int_(-pi/4)^(pi/4)r^2数据集
(11)
=a^2+b^2E((a^2)/(b^2)),
(12)

积分在曲线的一半以上,然后乘以2E(x)完成了吗椭圆形第二类积分.如果a=b,曲线变为

第^2页=a^2[cos(2theta)+sqrt(1-sin^2theta
(13)
=2a^2科斯(2贝塔),
(14)

哪个是柠檬状的地区

 A=2a^2
(15)

(曲线的两个环平方米(2)通常柠檬酸盐的线性标度r^2=a^2cos(2theta),具有面积A=A^2/2对于每个循环)。如果a> b条,曲线变成两个不相交的椭圆

 r=+/-asqrt(cos(2theta)+/-sqrt((b/a)^4-sin^2(2heta))),
(16)

哪里[-θ0,θ0]中的θ

 θ0=1/2分^(-1)[(b/a)^2]。
(17)

另请参阅

卡西尼曲面,柠檬酸盐,Mandelbrot集合,椭圆形,圆环体

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工具书类

Beyer,W.H。CRC标准数学表,第28版。佛罗里达州博卡拉顿:CRC出版社,第221页,1987Gray,A.“Cassinian椭圆形”§4.2英寸现代Mathematica的曲线和曲面微分几何,第2版。博卡佛罗里达州Raton:CRC出版社,第82-86页,1997年。南卡拜。数学图形I:使用数学的计算机图形课程。普斯科拉德尼,匈牙利:Uniconstant,第145页,2002年。J.D.劳伦斯。A类特殊平面曲线目录。纽约:多佛,第153-155页,1972年。洛克伍德,E.H.公司。A类曲线书。英国剑桥:剑桥大学出版社,第187-188页,1967MacTutor数学历史档案。“卡西尼奥瓦尔斯。”网址:http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Cassinian.html皮齐亚克,R.和Turner,D.“探索Gerschgorin圆圈和卡西尼椭圆”数学软件教育。 , 13-21, 1994.D.E.史密斯。历史数学,第2卷:初等数学专题。新建约克:多佛,第329页,1958年。威尔斯,D。这个企鹅奇趣几何词典。伦敦:企鹅,第25-26页,1991年。R.C.耶茨。“卡西尼曲线。”A类曲线及其特性手册。密歇根州安娜堡:J.W。爱德华兹,第8-111952页。

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。《卡西尼椭圆》摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/CassiniOvals.html

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