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卡西尼椭圆

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卡西尼椭圆是一个家族四次曲线，也称为卡西尼椭圆，用一个点来描述，其距离的乘积距离两个固定点2a个间隔是一个常数b^2号曲线的形状取决于银行账户.如果a<b，曲线是带有椭圆形（上图左图）或狗骨（第二图）形状。这个案子a=b生成一个柠檬状的（第三图）。如果a> b,然后曲线由两个回路组成（右图）。卡西尼椭圆非岩浆的曲线.

CassiniOval曲线

值的一系列椭圆b/a=0.1到1.5如上文所示。

1680年，卡西尼在研究地球和太阳的相对运动时首次研究了这条曲线。卡西尼相信太阳围绕着地球在其中一个椭圆上，地球在其中集中椭圆形的。

卡西尼椭圆定义为两个中心双极的协调根据方程式

r_1r_2=b^2，
(1)

原点在集中更令人难以置信的曲线是由一个点的轨迹产生的，该点的距离等于或大于3不动点是一个常数。

卡西尼椭圆具有笛卡尔方程式

[（x-a）^2+y^2][（x+a）^2+y^2]=b^4
(2)

或同等形式

（x^2+y^2+a^2）^2-4a^2x^2=b^4
(3)

和极坐标方程

r^4+a^4-2a^2r^2[1+cos（2theta）]=b^4。
(4)

解决第^2页使用二次方程给予

第^2页=（2a^2cos（2theta）+/-平方（4a^4cos^2（2heta）-4（a^4-b^4）））/2
(5)
=a^2cos（2theta）+/-平方（a^4cos^2（2heta）+b^4-a^4）
(6)
=a^2cos（2theta）+/-平方（a^4[cos^2（2heta）-1]+b^4）
(7)
=a^2cos（2theta）+/-平方（b^4-a^4sin^2（2heta））
(8)
=a^2[cos（2theta）+/-sqrt（（b/a）^4-sin^2（2theda））]。
(9)

让一个圆环体管半径的一被一个垂直于环面平面的平面切割质心。称此平面到圆环孔中心的距离第页，让a=r，并考虑该平面与圆环的交点作为第页多种多样。所得曲线为卡西尼曲线椭圆形，带有柠檬状的发生于r=1/2因此，卡西尼椭圆复曲面部分.

如果a<b，曲线有地区

A类=1/2分之一
(10)
=2（1/2）int_（-pi/4）^（pi/4）r^2数据集
(11)
=a^2+b^2E（（a^2）/（b^2）），
(12)

积分在曲线的一半以上，然后乘以2E（x）是完整的吗椭圆形第二类积分.如果a=b，曲线变为

第^2页=a^2[cos（2theta）+sqrt（1-sin^2theta
(13)
=2a^2科斯（2贝塔），
(14)

这是一个柠檬状的有地区

A=2a^2
(15)

（曲线的两个环平方英尺（2）通常柠檬酸盐的线性标度r^2=a^2cos（2theta），具有面积A=A^2/2对于每个循环）。如果a> b，曲线变成两个不相交的椭圆

r=+/-asqrt（cos（2theta）+/-sqrt（（b/a）^4-sin^2（2heta））），
(16)

哪里[-θ0，θ0]中的θ和

θ0=1/2分^（-1）[（b/a）^2]。
(17)

另请参见

卡西尼曲面,柠檬酸盐,Mandelbrot集合,椭圆形,圆环体

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工具书类

Beyer，W.H。CRC标准数学表，第28版。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，第221页，1987Gray，A.“Cassinian椭圆形”§4.2英寸现代曲线和曲面的微分几何与Mathematica，第二版。博卡佛罗里达州Raton：CRC出版社，第82-86页，1997年。南卡拜。数学图形I：使用数学的计算机图形课程。普斯科拉德尼，匈牙利：Uniconstant，第145页，2002年。J.D.劳伦斯。A类特殊平面曲线目录。纽约：多佛，第153-155页，1972年。洛克伍德，E.H.公司。A类曲线书。英国剑桥：剑桥大学出版社，第187-188页，1967MacTutor数学历史档案。“Cassinian椭圆形。”http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Cassinian.html.皮齐亚克，R.和Turner，D.“探索Gerschgorin圆圈和卡西尼椭圆”数学软件教育。 三, 13-21, 1994.D.E.史密斯。历史数学，第2卷：初等数学专题。新建约克：多佛，第329页，1958年。威尔斯，D。这个企鹅奇趣几何词典。伦敦：企鹅，1991年第25-26页。R.C.耶茨。“卡西尼曲线。”A类曲线及其特性手册。密歇根州安娜堡：J.W。爱德华兹，第8-111952页。

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。《卡西尼椭圆》摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/CassiniOvals.html

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