Birkhoff遍历定理

让是遍历的自同态的可能性空间 然后让成为真正有价值的人可测函数.然后对于几乎每一个 ，我们有

(1)

作为.为了说明这一点成为特征功能其中一些子集 属于以便

(2)

的左侧(1)只是说轨道的频率（也就是说，要点,,, ...) 位于，右边是测量属于.因此，对于遍历自同态，“空间平均值=几乎所有地方的时间平均值。“此外，如果连续且唯一遍历博雷尔测量 和是连续的，那么我们可以更换几乎到处都是收敛于(1)“无处不在”