n实验室内函子的余代数

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定理

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想法

A类内函子上的余代数就像一个共鸣曲上的余音，但没有概念结合性.

该概念在以下方面发挥了作用计算机科学对于基于状态的模型计算（另请参见monad（计算机科学）). 概念内函子的末端余代数是一种编码方式共导类型.

定义

定义

对于类别 CC和内函子 F类F类，一个联合布拉格属于 F类F类是一个对象 X（X）X（X）在里面CC与一个同构 α:X（X）→F类(X（X）)\α：X到F（X）.

给定两个余代数(x个,η:x个→F类x个)（x，eta:x\到Fx）,(年,θ:年→F类年)（y，θ：y到Fy），一个联合体同态是一个同构 （f）:x个→年f： x到y它尊重余代数结构：

θ∘（f）=F类(（f）)∘η\θ\circ f=f（f）\circ\eta

（对象X（X）X（X）有时被称为载体联合布拉。）

备注

双重概念是内函子的代数.两者代数上内函子的余代数CC是的特殊情况C-C双模的代数.

备注

如果F类F类具有单子，则它的余代数等价于自同态在相应的克莱斯利范畴在这种情况下，规范单体范畴自同态结构诱导a张量积在那些联合体上。

如果F类F类是一个共点内函子带共点ϵ:F类→身份证件\epsilon:F\到Id，然后通过联合布拉格对于F类F类one通常表示尖余层，即：ϵ X（X）∘α=身份证件 X（X）\epsilon_X\circ\alpha=id_X.

示例

上内函子的余代数设置设置

以下每个示例的格式如下X（X）→F类(X（X）)X\到F（X），（内函子的描述F类:设置→设置F\冒号设置\设置)：（余代数的描述）。在它出现的地方，A类A类是一个给定的固定集。

  • X（X）→D类(X（X）)X至D（X），一套概率分布在X（X）X（X）：上的马尔可夫链X（X）X（X）.
  • X（X）→𝒫(X（X）)X到mathcal{P}（X），的动力装置属于X（X）X（X）：上的二元关系X（X）X（X），也是最简单的类型克里普克框架.
  • X（X）→X（X） A类×布尔X\到X^A\次bool，使用X（X） A类X ^A（X ^A）函数集A类→X（X）A至X和布尔={0,1}bool=\{0,1\}:确定性自动机.
  • X（X）→𝒫(X（X）) A类×布尔X\to\mathcal{P}（X）^A\次bool:非确定性自动机.
  • X（X）→A类×X（X）×X（X）X\到A\倍X\倍X：使用来自的标签标记二叉树A类A类.
  • X（X）→𝒫(A类×X（X）)X到mathcal{P}（A乘以X）:标记过渡系统标签来自A类A类.

请参见联合布拉格例如关于模块类别的示例。

作为终端余代数的实线

让销售时点情报系统销售时点情报系统属于偏序集s.考虑内函子

F类 1:销售时点情报系统→位置F_1：位置\到位置

其行为依据序数积?具有ω\欧米茄

F类 1:X（X）↦X（X）⋅ω,F_1:X\映射到X\cdot\omega\,,

右边是字典顺序，而不是通常的产品顺序。

命题

末端余代数F类 1F_1级顺序与非负同构实线 ℝ +\mathbb{R}^+，以及其标准订单。

证明

这是中的定理5.1

命题

实际间隔[0,1][0, 1]可以被描述为拓扑空间，作为二上函子的终端余代数-指出取空间的拓扑空间X（X）X（X）到空间X（X）∨X（X）X \ V X.给，X（X）∨年X \ V Y，用于(X（X）,x个 −,x个 +)（X，X_-，X_+）和(年,年 −,年 +)（Y，Y_-，Y_+），是X（X）X（X）和年年具有x个 +x个_+和年 −年_-确定，以及x个 −x个_-和年 +年_+作为两个基点。

证明

这在中进行了讨论

有关更多信息，请访问实区间的余代数.

工具书类

余代数理论和模态逻辑具体请参见

还有

  • 科琳娜·科斯蒂、亚历山大·库兹、，德克·帕丁森卢茨·施罗德（Lutz Schroder）和伊德·维尼玛（Yde Venema），模态逻辑是协代数的，摘自2011年《计算机杂志》，在这里.

和量子力学，请参见此和

下面是两篇关于余代数理论的博客讨论：

最后一次修订时间为2024年2月26日22:34:31。请参阅历史获取所有贡献的列表。

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