这个丰富的数字是正整数 n个为此除数之和属于n个超过.第一个偶数富足是,使用σ (12) = ⋅ (3 + 1) = 7 ⋅ 4 = 28 > 24 = 2 ⋅ 12 |
.第一个奇数丰富数(232第丰富的数字)是945 = 3 三⋅ 5 ⋅ 7 = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 = 9!! |
(该双阶乘第9页)σ (945) = ⋅ (5 + 1) ⋅ (7 + 1) = 40 ⋅ 6 ⋅ 8 = 1920 > 1890 = 2 ⋅ 945 |
.这个丰度属于n个是
![{\displaystyle\operatorname{丰度}(n):={\frac{\sigma(n)}{n}},}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/624adc1c2af1df686c87ffc3825597a9ebf8d220)
哪里是除数之和属于.[1]等效定义为![{\displaystyle\operatorname{丰度}(n)=\sigma{-1}(m):=\sum{d|n}d^{-1}.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceaaaa72b0fee21d39f76808be00477143e74450)
丰度数字是丰度大于2的数字,而完美数丰度等于2的数字亏数丰度小于2的数字。当一个正整数的丰度n个是一个正整数我们有一个k-完全数,1是唯一的1-完全数。A017665号除数倒数和的分子n个.
- 1, 3, 4, 7, 6, 2, 8, 15, 13, 9, 12, 7, 14, 12, 8, 31, 18, 13, 20, 21, 32, 18, 24, 5, 31, 21, 40, 2, 30, 12, 32, 63, 16, 27, 48, 91, 38, 30, 56, 9, 42, 16, 44, 21, 26, 36, 48, 31, ...
A017666号除数倒数和的分母n个.
- 1, 2, 3, 4, 5, 1, 7, 8, 9, 5, 11, 3, 13, 7, 5, 16, 17, 6, 19, 10, 21, 11, 23, 2, 25, 13, 27, 1, 29, 5, 31, 32, 11, 17, 35, 36, 37, 19, 39, 4, 41, 7, 43, 11, 15, 23, 47, 12, 49, 50, ...
属性
富足数的任何正倍数也是富足数。此外,完美数的任何正倍数(大于1)都是富足数。
定理AbT1。
富足数的所有正倍数也是富足的:给定一个正富足数n个和任何正整数米,数字也很丰富。
证明。这足以证明丰富的地方资源丰富是素数,因为是零个或多个素数的乘积,可以通过归纳法应用。如果和那么是互质的σ−1(n个 对) =σ−1(n个) ⋅σ−1( 对) > 2 ⋅σ−1( 对) > 2 |
通过否则,让哪里和是互质的,请注意σ−1(n个 对) =σ−1(k 对 e(电子) +1) =σ−1(k) ⋅σ−1( 对 e(电子) +1) >σ−1(k) ⋅σ−1( 对 e(电子)) =σ−1(k 对 e(电子)) =σ−1(n个) = 2 |
自从正在严格增加. □
例如,是丰富的,因此根据定理,其正倍数也是丰富的:{12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168, 180, 192, 204, 216, 228, ...} |
(A008594号).推论AbC1。
所有正倍数第,页,共页完全数资源丰富。
证明。以上证明就足够了,注意到和σ−1( 对 e(电子) +1) >σ−1( 对 e(电子)) |
. □
推论AbC2。
丰富的数字有正下方密度.
证明。6是一个完美的数字,所以根据推论AbC1,较低的密度至少是. □
丰富的数字密度为
- 至少(因为6是完美的);
- 至少(因为6和28是完美的);
- 至少(因为6和28是完美的,20是原始丰富的)。
德莱格利什[2]给出了更好的边界:它们的较低密度至少是它们的密度上限是.所有大于46的偶数都可以用至少一种方式表示为两个丰富数的和。例如,.定理AbT2。
所有大于46的偶数都是至少以一种方式表示的两个丰富数之和。
证明。回想一下,一个富足数的所有倍数也是富足数完全数保存完美数本身是丰富的(根据上述定理AbT1及其推论)。现在考虑一个偶数,但模数因此,我们只需考虑六个案例。请注意是一个丰富的数字。如果,这意味着是的倍数可以表示为至少在两个方面(因为例如。,). 请注意是一个丰富的数字。如果,我们可以做到带有奇整数(从而确保数量充足)。如果,我们可以做到.如果,我们可以做到.如果,我们可以做到我们故意离开了最后,因为.对于这种情况,我们可以,其中两个加数都是丰富的。这列出了所有六种情况,证明了定理。 □
定理AbT3。
所有大于20161的整数都可以用至少一种方式表示为两个丰富数字的总和。
证明。跟随Parkin&Lander[3],写入
![{\显示样式n=88e+315o}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6f5ec8602c7d6e138f6e54a5c0a9ed3dca37dad)
哪里e(电子)是偶数,2<哦<90是很奇怪的。88e(电子)由冠状病毒AbC1检测到丰富,可以查出315哦也很丰富(如
检查一下就足够了哦=3、7和89)。此形式可以表示所有奇数n个>28122和偶数由定理AbT2处理,因此检查20162和28122之间的奇数是否可以表示为此类和就足够了。 □
A048242号不是两个丰富数字之和的数字(不一定是不同的)。(是最大的偶数项;是最大的术语。)- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 31, 33, 34, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 46, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, ..., 20161
本原丰富数
A091191美元本原富足数:富足数(A005101号)没有富足真除数(富足数的所有真除数都是亏数或完全数)。(联盟A071395级和A275082型.)
- 12, 18, 20, 30, 42, 56, 66, 70, 78, 88, 102, 104, 114, 138, 174, 186, 196, 222, 246, 258, 272, 282, 304, 308, 318, 354, 364, 366, 368, 402, 426, 438, 464, 474, 476, 498, 532, 534, 550, 572, 582, 606, 618, 642, 644, 650, 654, 678, 748, 762, 786, 812, 822, ...
A071395号本原富足数(富足数的所有真除数都是亏数)。
- 20, 70, 88, 104, 272, 304, 368, 464, 550, 572, 650, 748, 836, 945, 1184, 1312, 1376, 1430, 1504, 1575, 1696, 1870, 1888, 1952, 2002, 2090, 2205, 2210, 2470, 2530, 2584, 2990, 3128, 3190, 3230, 3410, 3465, 3496, 3770, 3944, 4030, 4070, 4095, 4216, 4288, ...
A275082型具有完全真除数的本原富足数(没有富足真除数)。(全部为偶数,因为没有已知的奇数和完美数……)
- 12, 18, 30, 42, 56, 66, 78, 102, 114, 138, 174, 186, 196, 222, 246, 258, 282, 308, 318, 354, 364, 366, 402, 426, 438, 474, 476, 498, 532, 534, 582, 606, 618, 642, 644, 654, 678, 762, 786, 812, 822, 834, 868, 894, 906, 942, 978, 992, 1002, 1036, 1038, 1074, 1086, 1146, ...
A006038号奇原始富足数(奇富足数,其所有正约数都是奇亏数,因为没有已知的奇完美数…)。[4]
- 945, 1575, 2205, 3465, 4095, 5355, 5775, 5985, 6435, 6825, 7245, 7425, 8085, 8415, 8925, 9135, 9555, 9765, 11655, 12705, 12915, 13545, 14805, 15015, 16695, 18585, 19215, 19635, 21105, 21945, 22365, 22995, 23205, 24885, 25935, 26145, 26565, 28035, 28215, ...
非本原富足数
A091192号数量丰富(A005101号)至少有一个丰富的真除数。
- 24, 36, 40, 48, 54, 60, 72, 80, 84, 90, 96, 100, 108, 112, 120, 126, 132, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 176, 180, 192, 198, 200, 204, 208, 210, 216, 220, 224, 228, 234, 240, 252, 260, 264, 270, 276, 280, 288, 294, 300, 306, 312, 320, 324, 330, 336, 340, ...
A??????具有至少一个奇富足真除数的奇富足数。
- 2835, 4725, 6615, 7875, 8505, 10395, 11025, 12285, 14175, ...
- 显然只包含在A005231号,A174535号,A174865号和A248694型.
其他子集
A173490型 甚至数量丰富(偶数其除数之和超过):[5]
- 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, …
A??????即使是没有完美真除数的丰富数。
- 20, 40, 70, 80, 88, 100, 104, 140, 160, 176, 200, …
- 囊性纤维变性。A064409号,A093891号,A177085型,A192819号,A204829型,A280149型对于潜在的超集。
A005231号 奇数富足(奇数其除数之和超过):[5]
- 945, 1575, 2205, 2835, 3465, 4095, 4725, 5355, 5775, 5985, 6435, 6615, 6825, 7245, 7425, 7875, 8085, …
A004490号:数量庞大:[6]
- 2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800, …
A002093号高度丰富的数字:.- 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 42, 48, 60, 72, 84, 90, 96, 108, 120, 144, 168, 180, …
A004394号超丰富的数字:n个这样的话.- 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 10080, 15120, …
另请参见
工具书类