两只蝴蝶定理
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两只蝴蝶定理

下面的定理可以称为两只蝴蝶定理是一个更著名的蝴蝶定理.

双蝴蝶定理

设两个自相交的四边形$KLMN$和$K'L'M'N'$被内切到同一个圆中。假设两条弦$AB$分别在点$P、$$Q、$$R、$$S$和点$P'、$$Q'、$$R'、$$1S'、$处相交$（P$位于$KL上，$$Q$位于$LM上，$等）还假设四边形的顶点没有一个与$A$或$B$重合。如果点$P、$$Q、$$R、$$S$中的三个点与$P'、$$Q'、$$R'、$$1S'$中的相应三个点重合（例如，$P=P'、$Q=Q'、$R=R'），则其余两个点也重合。

证明

作为证据中的主要工具，我们将使用引理这是蝴蝶定理根据该引理，手边的圆由方程$f=0定义，其中$

$f=\lambda l_{吉隆坡}l_{MN}+\mu l_{千牛}l_{ML}、$和
$f=\lambda'l_{K'l'}l_{M'N'}+\mu'l_}K'N'{l_{M’l'}$

将行$AB$视为坐标为$x的数字行。为明确起见，假设$P=P'，$$Q=Q'，$和$R=R'。$还假设点$P、$$Q、$$R、$$S、$和$S'$分别具有坐标$P、$$Q、$$R、$$S、$和$S'，$。然后，受限于$AB行，$上述方程意味着

$\alpha（x-p）（x-r）+\beta（x-q）（x-s）=\alpha'（x-p）（x-r）+\ beta'（x-q”）（x-s'）$

我们想显示$s=s'$

如果$\alpha=\alpha'，则$\beta=\beta'$和$s=s'$也会立即生效。但是，根据我们的约定$（P$位于$KL，$Q$位于$LM，$等），$Q$$可能不等于$P$或$R，因此，$（x-P）（x-R）$不能被$（x-Q）整除因此，必然需要$\alpha=\alpha'，$，我们就完成了。

内森·鲍勒（Nathan Bowler）提供了额外的证据。

设$P$不是圆$C上的一个点。设$f_{P}$是将$C$上的每个点$a$到$AP$与$C$的另一个交点的变换。然后有一个mobius变换$g_{P{$，使得$f_}P}$成为$g{P}$$C到$C的限制$

证明

如果$P$位于$C之外，则通过相交弦定理我们可以取$g{P}$作为以$P.$为中心的半径合适的圆圈内的反转。如果$P$位于$C内，则只需在$P处增加一个额外的半扭曲$

现在让$g$是通过组合$g{P}、$$g{Q}、$1$g{R}$和$g{S}获得的mobius变换那么$g$在$C上有三个不动点：$$A、$$B$和$K.$所以$g$是$C$上的恒等式，所以$g（K'）=K'.$结果如下。

注意，相同的参数将给出以下有趣的结果波尔斯主义概括而言：

设$A$和$B$位于一个圆$S，$上，$P_{1}，\ldots，P_{2n}$是$AB$上与$A$、$B$不同的点。{1}=K{2n+1}=K，$则$S$上的所有点都具有此属性。

备注

我们可以进一步概括要注意的关键点是，在引理中，我们实际上可以构造$g_{P}$，它只知道$P、$$A$和$B$，其中$P、$A$和$B$共线，$A$与$B$位于圆$C.$上。然后，通过注意$g$保持平面的方向来澄清证明，不仅$C$上的恒等式，而且处处都是恒等式，我们可以观察到，圆圈$KLMN$和$K'L'M'N'$没有必要相同；我们只需要两个都通过$A$和$B$

更不正式的是，在两只蝴蝶定理中，两只蝴蝶可能生活在不同的圆上，前提是这些圆在$A$和$B处相遇$

作为进一步的推广，这两个圆不需要相交：定理仍然有效只要$A$和$B$位于径向轴两个圆圈中的一个。

最后，比如说，帕斯卡定理，这里讨论的定理只处理点和线的入射，因此，对于任何非退化二次曲线都是正确的。我们有一个演示省略号语句以及内森·鲍勒（Nathan Bowler）建议的porism演示。

我们有一个主要结果的额外证明。证据来自L.霍恩第一次证明的声明D.琼斯.

参考上图，琼斯的结果显示为

设$PQ$是一个圆的固定和弦，并将“蝴蝶$R$”和“蝴蝶$S$”内切到圆中，使它们的翅膀分别在$R{4}、$$R{3}、$R{2}、$1R{1}$和$S_1}、美元S_2}，美元S_3}，$$S_4}，$处切割$PQ$S（按从左到右的顺序）。如果$PR{1}=QS_{1}，$$PR{2}=QS-{2}$和$PR{3}=QS{3}，$则$PR{4}=QS{4}$

（反映在垂直平分线$PQ$的结果立即表明“双蝴蝶定理”等同于“双蝴蝶定律”。）

我们申请Hiroshi Haruki引理两次。

为了证明这个定理，我们设$m=PR{4}，$$n=QS_{4}，$$a=PR{3}=QS_}3}，$$b=R_{3} R（右）_{2} =S_{3} S公司_{2} ，$$c=R_{2} R（右）_{1} =S_{2} S公司_{1} ，$$d=R_{1} 秒_{1} ，$和$e=a+b+c+d$

通过应用Haruki引理两次指向$A$和$B$以及蝴蝶$R的固定和弦$PQ$和$CD$，$我们有

$m\cdot（b+c+e）/（a-m）=（a+b）\cdot e/c$

正弦都等于同一常数。同样，

$n\cdot（b+c+e）/（a-n）=（a+b）/cdot e/c$

蝴蝶$S.$By平等的及物性，我们很容易得到$m=n，$，这就完成了证明。

工具书类

D.琼斯，一个双蝴蝶定理,数学杂志49（1976年），第86-87页
L.Hoehn，双蝴蝶定理的新证明,数学杂志63（1990），第256-257页
V.V.Prasolov，关于数字和数字的论文，AMS，2000年

蝴蝶定理和变量

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