用户：Daniel Poveda Parrilla

我在这里是因为我喜欢寻找和创建公式和整数序列。我一直喜欢这样做的乐趣！

但老实说，我最终来到这里是因为一个挑战马特·帕克提议于YouTube网站关于正方形三角形数字和它们背后的图案，所以我认为在我的个人资料页面上分享我发现的一切是一个好主意。

我对正方形三角形数的询问

为了让每个表达式都清楚，我将这些序列命名如下：

• A001110号作为${\显示样式ST}$（正方形三角形数字）：

${\显示样式\{0,1,36122541616141372148024900163143288155420693056…}}$

• A002965号作为${\显示样式B}$（交错分母，A000129号和分子，A001333号，收敛到${\显示样式{\sqrt{2}}$):

${\显示样式\{0,1,1,2,3,5,7,12,17,29,41,70,99169239…}}$

• A000290型作为${\显示样式S}$（平方数）：

${\显示样式\{0,1,4,9,16,25,36,49,64,81100121144169…}}$

• A000217号作为$｛\displaystyle T｝$（三角形数字）：

${\显示样式\{0,1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91105…}}$

• A114620号作为${\显示样式C}$(2×A084158号，两倍于Pell三角形）：

${\显示样式\{0,2,10,6034820301183068952401880234233013652098…}}$

• A235367号作为${\显示样式D}$（正偶数之和小于等于${\显示样式n^{2}}$):

${\显示样式\{0,6,20,72156342600105661640255036605267140970212661651220880…}}$

• A000129号作为${\显示样式P}$（佩尔号码）${\显示样式P_{n}}$=${\显示样式B_{2n}}$:

${\显示样式\{0,1,2,5,12,29,70169408985237857411386033461807821950254708321136689…}}$

---

给出这个问题的方程式：

${\显示样式\{ST_{n}=S_{i}=T_{j}}}$

我开始学习时知道了这些平方数和三角形数的表达式：

${\显示样式\{S_{i}={i}^{2}=\sum_{x=0}^{i-1}2x+1} }{i-1}2x+1} }$

$显示样式^{j} x个}}{j} x个}}$

由于每个正方形数字是连续奇数的和，每个三角形数字是连续数字的和，所以我重点关注每个和中的不同元素，注意到三角形数字的奇偶校验很重要，并且必须有一个连续奇数之和等于连续偶数之和：

$显示样式^{i-1}2x+1} =\sum_{x=0}^{\frac{j-（j{\bmod{2}}）}{2}{2x}}{i-1}2x+1} =\sum_{x=0}^{\frac{j-（j{\bmod{2}}）}{2}{2x}}$

然后我注意到${\显示样式{\frac{j+（j{\bmod{2}}）}{2}{$是一个正方形数，它将每个对应的方形三角形数相除，得到另一个方形数，因此每个方形三角形数都是两个方形数的乘积。每个总和的结果是一个序列项${\显示样式D}$它也可以与序列联系在一起${\显示样式B}$:

$｛\displaystyle D_｛k｝=D_｛B_｛2n+1｝｝｝\ mid｛n>1｝｝$

示例：

${\显示样式\{ST_{2}=S_{6}=T_{8}}=36={2}^{2}\cdot{3}^{2]；{{\sum_{x={\frac{8+0}{2}}^{6-1}2个+1} =\sum_｛x=0｝^｛\frac｛8-0｝｛2｝｝2x｝=20=2\cdot T_｛4-0｝=D_｛3｝{{\sum_{x={\frac{8+0}{2}}^{6-1}2个+1} =\sum_｛x=0｝^｛\frac｛8-0｝｛2｝｝2x｝=20=2\cdot T_｛4-0｝=D_｛3｝$

${\显示样式\{ST_{3}=S_{35}=T_{49}}=1225={5}^{2}\cdot{7}^{2]；{{总和{x={压裂{49+1}{2}}}^{35-1}2个+1} =\sum_{x=0}^{\frac{49-1}{2}}2x}=600=2\cdot T_{25-1}=D_{7}}{{总和{x={压裂{49+1}{2}}}^{35-1}2个+1} =\sum_{x=0}^{\frac{49-1}{2}}2x}=600=2\cdot T_{25-1}=D_{7}}$

${\显示样式\{ST_{4}=S_{204}=T_{288}}=41616={12}^{2}\cdot{17}^{2]；{{\sum_{x={\frac{288+0}{2}}^{204-1}2个+1} =\sum_{x=0}^{\frac{288-0}{2}}2x}=20880=2\cdot T_{144-0}=D_{17}}{{\sum_{x={\frac{288+0}{2}}^{204-1}2个+1} =\sum_{x=0}^{\frac{288-0}{2}}2x}=20880=2\cdot T_{144-0}=D_{17}}$

${\显示样式\{ST_{5}=S_{1189}=T_{1681}}=1413721={29}^{2}\cdot{41}^{2]；{{\sum_{x={\frac{1681+1}{2}}^{1189-1}2个+1} =\sum_{x=0}^{frac{1681-1}{2}}2x}=706440=2\cdot T_{841-1}=D_{41}}{{\sum_{x={\frac{1681+1}{2}}^{1189-1}2个+1} =\sum_{x=0}^{frac{1681-1}{2}}2x}=706440=2\cdot T_{841-1}=D_{41}}$

我找到了一个序列的通用术语${\显示样式A}$类似${\显示样式B}$，但不完全相等：

${\显示样式\{0,1,1,2,3,5,7,12,17,29,41,70,99169239…}}$

我为序列修复了以下条件：

${\显示样式\A_{0}=0}$,

${\显示样式\A_{1}=1}$,

$｛\displaystyle\A_｛2｝=1｝$,

${\显示样式\m={（n-1）{\bmod{2}}}}$.

我为这个序列找到的通用术语如下：

$显示样式$

这里有一个好奇心：${\显示样式A_{13}=13^{2}}$。我不知道这个序列中的更多项是否会发生这种情况。

经过所有这些调查，我来到这里，找到了顺序${\显示样式B}$几年前休·达温链接的${\显示样式ST}$用它。

I链接序列${\显示样式ST}$,$｛\displaystyle S｝$和${\显示样式T}$以及（正方形三角形数、正方形数和三角形数）$｛\displaystyle B｝$了解${\显示样式n}$正方形三角形数的第个位置：

${\显示样式\{i=B_{2n}\cdot B_{2 n+1}}；{j=2（B_{2n}）^{2}-（B_{2n}{\bmod{2}}）}}{j=2（B_{2n}）^{2}-（B_{2n}{\bmod{2}}）}}$

${\显示样式\ST_{n}=S_{（B_{2n}\cdot B_{2 n+1}）}=T_{[2（B_2n}）^{2}-（B_{2n}{\bmod{2}}）]}}{2}-（B_{2n}{\bmod{2}}）]}}$

${\displaystyle\ST_{n}=（B_{2n}\cdot B_2n+1}）^{2}={\frac{[2（B_}2n}）^{2}-（B_{2n}{\bmod{2}}）]\cdot（[2（B_2n}）^{2}-（B_{2n}{\bmod{2}}）]+1）}{2}{}}{2}-（B_{2n}{\bmod{2}}）]\cdot（[2（B_2n}）^{2}-（B_{2n}{\bmod{2}}）]+1）}{2}{}}$

---

我发现了这些新的方三角数模式和公式：

$显示样式^{2}-（B_{2n}{\bmod{2}}）}2x}}{2}-（B_{2n}{\bmod{2}}）}2x}}$

这个公式可以用图形证明，我想这对每个正方形三角形数都是有效的。对于每个正方形三角形数，每个对应三角形中都有一个正方形。切割，一次一层，两个锐角角，我们减去连续的偶数，最后得到一个正方形（看起来有点像希尔皮恩斯基我认为是正方形），其中一个角是三角形斜边的一部分，而不是三角形斜边（取决于三角形数的奇偶性，这就是我使用模运算的原因）。为了缩短这个公式，我们可以使用序列项$｛\displaystyle B｝$和${\显示样式D}$。与连续偶数之和一样，我们可以构建两个三角形，我们可以仅使用Pell数和三角形数编写更好的公式：

${\显示样式\{ST_{n}={B_{2n}}^{4}+D_{B_2n+1}}}\mid\n>1}}$

$｛\displaystyle＝｛P_｛n｝｝^｛4｝+2\cdot｛T_｛P_｛n｝｝^{2}-（P_{n}{\bmod{2}}）}}}}{2}-（P_{n}{\bmod{2}}）}}}}$

这个例子是这个公式的图形证明，用${\显示样式{ST_{3}}$元素：

使用数字1225证明此公式。

正如已经观察到的那样，有一个连续奇数之和相当于连续偶数之和，它们都可以用${\显示样式B}$序列知道${\显示样式n}$序列中正方形三角形数的第个位置：

${\显示样式\{ST_{n}=（B_{2n}）^{4}+\sum_{x=（B_2n}$

这样写，我发现了一个与序列的链接${\显示样式C}$.每个${\显示样式C_{n}}$与等于的连续奇数之和有关${\显示样式ST_{n+1}}$也可以用图形证明。具体来说，${\显示样式C_{n}}$是最后的数字平面日晷我们必须减去平方才能得到一个更小的$｛\displaystyle（B_｛2（n+1）｝）^｛4｝｝$元素，与前面显示的Pell方块相同：

${\显示样式\C_{n}=（B_{2（n+1$

我链接了${\显示样式ST}$以及我在最初发现的序列中检测到的所有模式（因为我不知道${\显示样式B}$一开始，我链接到${\显示样式ST}$和${\显示样式B}$正如我已经展示的那样）${\显示样式B_{0}=A_{0{}$和$显示样式B_{n+1}=A_{n}}$|${\显示样式n}$≠${\显示样式0}$.

${\显示样式\{ST_{0}=0}}$

${\显示样式\ST_{n}=S_{（A_{2n-1}\cdot A_2n}）}=T_{[2（A_2n-1}）^{2}-（A_{2n-1}{\bmod{2}}）]}\mid{n\neq0}}{2}-（A_{2n-1}{\bmod{2}}）]}\mid{n\neq0}}$

${\显示样式\ST{n}=（A{2n-1}\cdot A{2n}）^{2}={\frac{[2（A{2-1}）^{2}-（A_{2n-1}{\bmod{2}}）]\cdot（[2（A_2n-1}）^{2}-（A_{2n-1}{\bmod{2}}）]+1）}{2}{mid\n\neq0}}{2}-（A_{2n-1}{\bmod{2}}）]\cdot（[2（A_2n-1}）^{2}-（A_{2n-1}{\bmod{2}}）]+1）}{2}{mid\n\neq0}}$

${\显示样式\{ST_{n}=（A_{2n-1}）^{4}+\sum_{x=0}^{（A{2n-1}）^{2}-（A_｛2n-1｝｛\bmod｛2｝｝）｝2x｝\mid｛n\neq 0｝｝{2}-（A_｛2n-1｝｛\bmod｛2｝｝）｝2x｝\mid｛n\neq 0｝｝$

${\显示样式\{ST_{n}=（A_{2n-1}）^{4}+\sum_{x=（A{2n-1'）^{2}}^{（A_2n-1}\cdot A_2n}）-1}2x+1}\mid{n\neq0}}}$

$｛\displaystyle｛ST_｛n｝=（A_｛2n-1｝）^｛4｝+D_｛A_｛2n｝｝｝\ mid｛n＞2｝｝$

---

后来（2016年7月30日），我推广了这个模式，创建了一个新序列，每个数字都是由一个正方形和两个小三角形组成的三角形：

${\显示样式\{A275496_{n}=n^{4}+\总和_{x=0}^{n^{2}-（n{\bmod{2}}）}2x={n}^{4}+2\cdot{T_{n}^{2}-（n{\bmod{2}}）}}}}{2}-（n{\bmod{2}}）}2x={n}^{4}+2\cdot{T_{n}^{2}-（n{\bmod{2}}）}}}}$

在那之后，我想寻找更多按照这种模式构建的三角形，所以我对其进行了进一步的推广（下一个序列仍然没有得到批准）：

${\显示样式\{A276914_{n}=n^{2}+\和_{x=0}^{A052928_{n{}}2x={n}^{2{2}+2\cdot{T_{A05292 8_{n}}}}$

而且。。。现在就这些了。有些东西不见了，我必须完成这一页。