拉马努扬素数

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一个拉马努詹全盛期是一个质数满足以下证明的结果拉马努金与素数计数函数1919年，Ramanujan发表了一份新的证据伯特兰假设正如他所指出的，这一点首先被证明了切比雪夫.在这篇分为两部分的论文的末尾，Ramanujan得出了一个广义的结果。

这个${\显示样式\脚本样式n\，}$第个 Ramanujan素数是最小正整数${\显示样式\脚本样式R_{n}\，}$对于其中

${\displaystyle\pi（x）-\pi（{\tfrac{x}{2}}）\geqn，\，对于所有x\geqR{n}，\quadn\geq1，\，}$

哪里$｛\displaystyle\scriptstyle\pi（x）\，｝$是素数计数函数（素数小于或等于$｛\displaystyle\scriptstylex\，｝$).

A104272号Ramanujan素数R_n:a（n）是最小的数，如果x>=a（n。

{2, 11, 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, 107, 127, 149, 151, 167, 179, 181, 227, 229, 233, 239, 241, 263, 269, 281, 307, 311, 347, 349, 367, 373, 401, 409, 419, 431, 433, ...}

注意，整数R（右）_n个必须是质数：${\displaystyle\pi（x）-\pi（x/2）}$因此，${\显示样式\pi（x）}$必须通过在x=R（右）_n个.自${\displaystyle\pi（x）-\pi（x/2）}$可以增加至多1，

${\显示样式\pi（}$R（右）_n个${\显示样式）-\pi（}$R（右）_n个${\显示样式/2）=n}$.

A174635号不是Ramanujan素数的素数。

{3, 5, 7, 13, 19, 23, 31, 37, 43, 53, 61, 73, 79, 83, 89, 103, 109, 113, 131, 137, 139, 157, 163, 173, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 251, 257, 271, 277, 283, 293, 313, 317, ...}

A193507型第二类Ramanujan素数：a（n）是最小的素数，如果素数x>=a（n。

{2, 3, 13, 19, 31, 43, 53, 61, 71, 73, 101, 103, 109, 131, 151, 157, 173, 181, 191, 229, 233, 239, 241, 251, 269, 271, 283, 311, 313, 349, 353, 373, 379, 409, 419, 421, 433, ...}

A214934号编号R（k），使R（k=A104272号（k） 是第k个Ramanujan素数。

{2, 11, 17, 29, 41, 47, 59, 97, 127, 149, 151, 167, 179, 227, 229, 233, 347, 367, 401, 409, 569, 571, 587, 593, 937, 1423, 1427, 2237, 2617, 2657, 2659, 3251}

这是一个完整的Ramanujan素数列表，其中${\显示样式R{k}>=2klog（R_{k}）}$.面向所有人$｛\displaystyle k＞201｝｛\displaystyle k＞201｝$,${\显示样式R_{k}<2klog（R_{k}）}$

Ramanujan Prime推论

这个Ramanujan Prime推论,${\显示样式2*p{i-n}>p{i}}$对于${\显示样式i>k}$哪里${\显示样式k=\pi（p_{k}）=\ pi（R_{n}）}$，源于伯特兰假设这个推论的威力来自于使用${\显示样式p{i-n}}$到${\显示样式R_{n}}$并且知道$｛\displaystyle n｝$.因为${\显示样式R_{n}<p_{i}}$由于${\显示样式p{i-n}}$m的范围第个之后的质数${\显示样式R_{n}}$可以在中找到${\显示样式2*p_{i-n+m}>p_{i+m}>p_{i+m-1}>…>p_{i}>R_{n}}p_{i}>R_{n}}$.

序列A165959号区别是什么${\显示样式2*p_{i-n}-R_{n} }{i-n}-R_{n} }$.如果165959英镑有无穷多个项，其中a（n）=3，则孪生素数猜想可以证明。

A168421号小型关联Ramanujan Prime，${\显示样式p{（i-n）}}$，是的左侧Ramanujan Prime推论

{2, 7, 11, 17, 23, 29, 31, 37, 37, 53, 53, 59, 67, 79, 79, 89, 97, 97, 127, 127, 127, 127, 127, 137, 137, 149, 157, 157, 179, 179, 191, 191, 211, 211, 211, 223, 223, 223, 233, 251, 251, 257, 293, 293, 307, 307, 307, 307, 307, 331, 331, 331, ...}

A168425号大关联Ramanujan素数p_i是拉马努詹素数推论

{3, 13, 19, 31, 43, 53, 61, 71, 73, 101, 103, 109, 131, 151, 157, 173, 181, 191, 229, 233, 239, 241, 251, 269, 271, 283, 311, 313, 349, 353, 373, 379, 409, 419, 421, 433, ...}

A165959号Ramanujan Prime推论范围的大小，2*A168421号（n）-A104272号（n）

{2, 3, 5, 5, 5, 11, 3, 7, 3, 9, 5, 11, 7, 9, 7, 11, 15, 13, 27, 25, 21, 15, 13, 11, 5, 17, 7, 3, 11, 9, 15, 9, 21, 13, 3, ...}