安排的数量

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的数量安排的任何子集${\显示样式\脚本样式n\，}$distinct objects是可以由${\显示样式\脚本样式n\，}$不同的对象。

公式

$｛\displaystylea_｛n｝=\sum_｛k=0｝^｛n｝｛n\choose k｝k=\求和{k=0}^{n}{\分数{n！}{k！（n-k）！}}k=n！\和{k=0}^{n}{\frac{1}{（n-k）！}}=n！\和{k=0}^{n}{\frac{1}{k！}}\，}\求和{k=0}^{n}{\分数{n！}{k！（n-k）！}}k=n！\和{k=0}^{n}{\frac{1}{（n-k）！}}=n！\和{k=0}^{n}{\frac{1}{k！}}\，}$

哪里${\显示样式\脚本样式{n\choose k}\，}$是二项式系数和${\显示样式\脚本样式n！\，}$是阶乘的第个，共个。

A000522号这个安排的数量 ${\显示样式\脚本样式a{n}，\，n\，\geq\，0.\，}$

{1, 2, 5, 16, 65, 326, 1957, 13700, 109601, 986410, 9864101, 108505112, 1302061345, 16926797486, 236975164805, 3554627472076, 56874039553217, 966858672404690, ...}

的最后一位（以10为基数）${\显示样式\脚本样式a{n}，\，n\geq 0，\，}$似乎遵循了模式（长度为10）

{1, 2, 5, 6, 5, 6, 7, 0, 1, 0}

错位、排列和排列数的比较

错位、排列和排列数的比较

${\显示样式n\，}$	错位的数量 ${\显示样式d_{n}\等于n！\和{k=0}^{n}{frac{（-1）^{k}}{k！}}\，}\和{k=0}^{n}{frac{（-1）^{k}}{k！}}\，}$ $｛\displaystyled_｛n｝约（1/e）~n！\，｝$ $d_{n}=\left[{\frac{n！}{e}}\right]=\floor{\frac{n！{e}{+{\frac}{1}{2}}\ right\floor，\，n\geq1\，$	排列的数量 ${\显示样式n！\，}$	安排的数量 ${\显示样式a_{n}\等于n！\和{k=0}^{n}{\frac{1}{k！}}\，}\和{k=0}^{n}{\frac{1}{k！}}\，}$ $显示样式a{n}\近似e~n！\，}$ $a_{n}=\left\lfloor e~n！\右\地板，\，n\geq 1\，\右\地板，\，n\geq 1\，}$
0	1	1	1
1	0	1	2
2	1	2	5
三	2	6	16
4	9	24	65
5	44	120	326
6	265	720	1957
7	1854	5040	13700
8	14833	40320	109601
9	133496	362880	986410
10	1334961	3628800	9864101
11	14684570	39916800	108505112
12	176214841	479001600	1302061345
13	2290792932	6227020800	16926797486
14	32071101049	87178291200	236975164805
15	481066515734	1307674368000	3554627472076
16	7697064251745	20922789888000	56874039553217
17	130850092279664	355687428096000	966858672404690
18	2355301661033953	6402373705728000	17403456103284421
19	44750731559645106	121645100408832000	330665665962404000
20	895014631192902121	2432902008176640000	6613313319248080001

例子

可以由5个不同对象{a，b，c，d，e}的任意子集形成的一对一序列的数量为

${\显示样式a{5}={5\选择5}5+{5\选择4}4+{5\选择3}3+{5\选择2}2+{5\选择1}1+{5\选择0}0={\Bigg（}{\frac{1}{0！}}{\Big）}5+{\Bigg（}{\frac{5}{1！}}{\Big）}4+{\Bigg（}{\frac{5\cdot4}{2！}}{\Big）}3+{\Bigg（}{\frac{5\cdot4\cdot3}{3！}}{\Big）}2+｛\Bigg（｝｛\frac｛5\cdot 4\cdot 3\cdot 2｝｛4！｝｝｛\Bigg）｝1+{\Bigg（}{\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{5！}}{\Big）}0！\，}{5\选择4}4+{5\选择3}3+{5\选择2}2+{5\选择1}1+{5\选择0}0={\Bigg（}{\frac{1}{0！}}{\Big）}5+{\Bigg（}{\frac{5}{1！}}{\Big）}4+{\Bigg（}{\frac{5\cdot4}{2！}}{\Big）}3+{\Bigg（}{\frac{5\cdot4\cdot3}{3！}}{\Big）}2+｛\Bigg（｝｛\frac｛5\cdot 4\cdot 3\cdot 2｝｛4！｝｝｛\Bigg）｝1+{\Bigg（}{\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{5！}}{\Big）}0！\，}$

${\displaystyle={\frac{5！}{0！}}+{\frac{5！{1！}}+{\frac{5！\和{k=0}^{5}{\分形{1}{k！}}=120+120+60+5+1=326\，}\和{k=0}^{5}{\分形{1}{k！}}=120+120+60+5+1=326\，}$

定期

${\显示样式a{n}=n\cdota{n-1}+1，\，n\，\geq\，1，\，a{0}\，=\，1.\，}$

其他公式

$a_{n}=\left\lfloor e~n！\右\地板，n\geq 1.\，\右\地板，n\geq 1.\，}$

与近似值的比较

${\显示样式n\，}$	$显示样式a{n}\，}$	${\显示样式e~n！\，}$	${\显示样式\左[e~n！\右]\，}$	${\displaystyle\left\lfloor e~n！\right\rfloor\，}$
0	1	2.7182	三	2
1	2	2.7182	三	2
2	5	5.4365	5	5
三	16	16.3096	16	16
4	65	65.2387	65	65
5	326	326.1938	326	326
6	1957	1957.1629	1957	1957
7	13700	13700.1404	13700	13700
8	109601	109601.1233	109601	109601
9	986410	986410.1099	986410	986410

哪里${\显示样式\脚本样式\左[n\right]\，}$是圆功能和${\displaystyle\scriptstyle\left\lfloor n\right\rfloor\，}$是地板功能。

正在生成函数

普通生成函数

这个普通生成函数对于安排的数量是

$显示样式G{{a{n}}（x）等于和{n=0}^{infty}a{n{n}~x^{n}=？，}$

指数生成函数

这个指数生成函数对于安排的数量是

${\显示样式E_{{a{n}}（x）\equiv\sum_{n=0}^{infty}a{n{}~{\frac{x^{n}{n！}}={\ frac{E^{x}}{1-x}}\，}$

渐近行为

商的极限安排的数量 ${\显示样式\脚本样式a{n}\，}$的任何子集${\显示样式\脚本样式n\，}$上的不同对象排列数 ${\显示样式\脚本样式p_{n}\，}$属于${\显示样式\脚本样式n\，}$不同的对象聚合到${\显示样式\脚本样式e\，}$（参见。A001113号和欧拉数)

${\显示样式\lim_{n\to\infty}{\ frac{a{n}}{p{n}{=\lim{n\to\infty}{\ frac{a}}{n！}}=e\，}$

的商的极限安排的数量 ${\显示样式\脚本样式a{n}\，}$的任何子集${\显示样式\脚本样式n\，}$上的不同对象错位数 ${\显示样式\脚本样式d_{n}\，}$属于${\显示样式\脚本样式n\，}$不同的对象聚合到${\显示样式\脚本样式e^{2}\，}$（参见。A072334号)

${displaystyle\lim_{n\to\infty}{frac{a{n}}{d_{n}{}=e^{2}\，}$

这个几何平均值的安排的数量和错位数是渐近的排列数

${\显示样式\lim_{n\to\infty}{\sqrt{a{n}~d{n}}=n！\，}$

非排列的安排

适当子集的排列数${\显示样式\脚本样式n\，}$不同的对象由

${\显示样式a_{n} -n个!=n！\左\{\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{k！}}\right\}-n=n！\和{k=1}^{n}{\frac{1}{k！}}\，}{n} -n个!=n！\左\{\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{k！}}\right\}-n=n！\和{k=1}^{n}{\frac{1}{k！}}\，}$

其中第二个求和得到空总和（定义为0）${\显示样式\脚本样式n\，=\，0\，}$.

${\显示样式a_{n} -n个!=\左侧楼层（e-1）~n！\右\地板，n\geq 1.\，}{n} -n个!=\左侧楼层（e-1）~n！\右\地板，n\geq 1.\，}$

序列

A000522号具有n个元素的集合的排列总数：a（n）=Sum_{k=0..n}n/k！。

{1, 2, 5, 16, 65, 326, 1957, 13700, 109601, 986410, 9864101, 108505112, 1302061345, 16926797486, 236975164805, 3554627472076, 56874039553217, 966858672404690, 17403456103284421, ...}

A002627号a（n）=n*a（n-1）+1，a（0）=0。（非排列的排列数。）

{0, 1, 3, 10, 41, 206, 1237, 8660, 69281, 623530, 6235301, 68588312, 823059745, 10699776686, 149796873605, 2246953104076, 35951249665217, 611171244308690, 11001082397556421, ...}

另请参见

• 错位的数量（由次级因子，认可术语）
• 安排的数量（由超因子的，建议的术语，因为超因素的指另一个概念）
• 阶乘