分区标识

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这个分区标识，其中规定受限分区条件A等于受限分区条件B，可以通过双射证明（两组一对一配对）合并/拆分技术，尽管欧拉习惯于生成函数.

欧拉分划恒等式

原始分区标识为欧拉分划恒等式

$p（n~|~{\rm{odd~parts}}）=p（n~ |~{\rm{distinct~parts{}），\，n\，\geq\，1.\，$

欧拉对定理

定理(I.舒尔)

${\显示样式p（n~|~{\rm{parts}}\ in n）=p（n~ |~{\rm{distinct~parts}}\ in M），\，n\，\geq\，1，\，}$

哪里${\显示样式\脚本样式N\，}$是任何一组正整数s.t.的两个元素的比率${\显示样式\脚本样式N\，}$永远不是二的幂，并且${\显示样式\脚本样式M\，}$是的所有元素的集合${\显示样式\脚本样式N\，}$和他们所有的倍数二的力量.

欧拉五边形数定理

定理（欧拉）

$p（n~|~{\rm{偶数~~distinct~parts~}}）=p（n~ |~{[rm{奇数~~detinct~patts~}）~+~e（n）\，$

哪里

$｛\displaystyle e（n）＝｛\begin｛cases｝（-1）^｛j｝&｛\text｛if｝n＝｛\frac｛j（3j-1）｝｛2｝｝｝\，\equiv\，q_｛j｝｛\text｛for some｝｝j\in\mathbb｛Z｝，\\0&｛\text｛otherwise｝｝｝。\结束{cases}}\，}\结束{cases}}\，}$

数字${\displaystyle\scriptstylen\，=\，{\frac{j（3j-1）}{2}}\，\equiv\，q_{j}，\，j\，\in\，\mathbb{Z}\，}$是广义五边形数，使用${\显示样式\脚本样式j\，}$遍历整数序列(A001057号).

{0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, 6, -6, 7, -7, 8, -8, 9, -9, 10, -10, 11, -11, 12, -12, 13, -13, 14, -14, 15, -15, 16, -16, 17, -17, 18, -18, 19, -19, 20, -20, 21, -21, 22, -22, 23, -23, 24, -24, 25, -25, 26, -26, ...}

给出广义五边形数序列${\显示样式\脚本样式q{j}\，}$(A001318号)

{0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, ...}

对于非负整数 ${\显示样式\脚本样式j\，}$，常规五角数获得。

欧拉五边形数定理暗示

$｛\displaystyle\sum_｛j=0｝^｛\infty｝（-1）^｛j｝~｛\big〔｝p（n-q_｛j｝）+p（n-q_｛-j｝）｛\big〕｝=\sum_｛j=0｝^｛\bity｝（-1）^｛j｝｛\big）｝｛\big]｝=p（n）+\sum_｛j=1｝^｛infty｝（-1）^｛j｝｛\big[｝p｛\big（n-｛\tfrac｛j（3j-1）｝｛2｝）｝+p｛\big（n-｛\tfrac｛j（3j+1）｝｛2｝）｝{\bigg]}=0\，}{\bigg]}=0\，}$

它产生有限的（因为${\显示样式\脚本样式p（n）\，=\，0\，}$对于${\显示样式\脚本样式n\，<\，0\，}$)递归公式对于配分函数

$显示样式p（n）=\sum_{j=1}^{infty}（-1）^{j-1}{big[}p（n-q_{j}）+p（n-q{-j}$

哪里${\显示样式\脚本样式q{j}\，}$是广义五边形数对应于${\显示样式\脚本样式j\，}$.

递归可以用求和指数的显式有限界表示${\显示样式\脚本样式j\，}$

${显示样式p（n）=\sum_{j=1}^{{big\lfloor}{\tfrac{1+{\sqrt{1+24n}}}{6}}{big\floor}}（-1）^{j-1}~p{big rt{1+24n}}}{6}}{\big\rfloor}}（-1）^{j-1}~p{\big（}n-{\tfrac{j（3j+1）}{2}}{\ big）}\，}$

分区标识

共轭对恒等式

$p（n~|~{\rm{最大~part~是~}}k）=p（n~ |~{\srm{部分的数目是~}}k），\，n\，\geq\，1.\，$

费勒图变换恒等式

${\显示样式p（n~|~{\rm{最大部分~is~}}k）=p（n-k~|~}\rm{all~parts}}\leqk），\，n\，\geq\，1.\，}$

同余分区恒等式

同余模2划分恒等式

$p（n~|~{\rm{偶数~parts}}）=p（n~ |~{\ rm{偶~parts{}中~each~partsneneneep的数目），\，n\，\geq\，1，\，$

或

$p（n~|~{\rm{parts}}\in\{\rm}k~|~k\equiv0{\pmod{2}}\}）=p（n~ |~{\fm{parts~occurrences}}\equiv 0{\pmod{2{}），\，n\，\geq\，1，\，$

我们在哪里${\显示样式\脚本样式p（{\frac{n}{2}}）\，}$偶数分区${\显示样式\脚本样式n\，}$奇数的0个分区${\显示样式\脚本样式n\，}$.

同余模3分区恒等式

$p（n~|~{\rm{parts}}\ in \{{\rm}k~|~k\equiv\pm 1{\pmod{3}}}}）=p（n~ |~{\rm{at~most~}}2{\rm每个部分的~），\，n\，\geq\，1，\，$

或

$p（n~|~{\rm{parts}}\ in \{{\rm}k~|~k\equiv\pm 1{\pmod{3}}}）=p（n~ |~{\rm{parts~occurrences}}\leq 2），\，n\，\geq\，1，\，$

或

$p（n~|~{\rm{parts}}在{\rm}k~|~k\equiv\pm 1{\pmod{3}}}}中）=p（n~ |~{rm{0{\mbox{-}}不同的~部分}}），\，n\，\geq\，1，\，$

最多出现两次的零件也称为0-不同.

同余mod 4分区标识

这是欧拉分划恒等式

$p（n~|~{\rm{odd~parts}}）=p（n~ |~{\srm{distinct~parts{}），\，n\，\geq\，1，\，$

或

$p（n~|~{\rm{parts}}\ in \{{\rm}k~|~k\equiv\pm 1{\pmod{4}}}）=p（n~ |~{\rm{parts~occurrences}}\leq 1），\，n\，\geq\，1，\，$

或

$p（n~|~{\rm{parts}}\in\{{\rm}k~|~k\equiv\pm1{\pmod{4}}}}）=p（n~ |~{\rm{parts~ differences}\geq1），\，n\，\geq\，1，\，$

或

${显示样式p（n~|~{rm{parts}}在{{rm{k~|~k\equiv\pm1{pmod{4}}}}中）=p（n~ |~{rm{1{mbox{-}}不同的~部分}}），\，n\，\geq\，1，\，}$

其中差异至少为1的零件也被称为1-不同.

同余mod 5分区标识

这个同余模5划分恒等式由独立发现伦纳德·詹姆斯·罗杰斯1894年和拉马努金1913年。

$｛\displaystyle p（n~|~｛\rm｛parts｝｝\in\｛\rm｛k~|~k\equiv\pm 1｛\pmod｛5｝｝｝｝）=p（n~|~｛\rm｛parts~differences｝｝\geq 2），\，n\，\geq\，1，\，｝$

或

${显示样式p（n~|~{rm{parts}}在{{rm{k~|~k\equiv\pm1{pmod{5}}}}中）=p（n~ |~{rm{2{mbox{-}}不同的~部分}}），\，n\，\geq\，1，\，}$

其中差异至少为2的零件也被称为2个区别.

同余模6分区非同一

您可能已经看到了一个模式，但不幸的是，这里出现了问题！

奇数部分划分恒等式的奇偶性

$p（n~|~{\rm{偶数~~奇数~parts}}）=p（n~ |~{[rm{distinct~parts，\，number~of~奇数~ parts~是~偶数}}，），\，n\，\geq\，1.\，$

$p（n~|~{\rm{odd~number~of~odd~parts}}）=p（n~ |~{[rm{distinct~parts，\，number~ of ~odd~ parts~是~odd}}，），\，n\，\geq\，1.\，$

不一致分区标识

非冲突mod 6分区标识

这个不一致mod6分区标识由找到珀西·麦克马洪1916年。

$p（n~|~{\rm{parts}}\ in \{{\rm}k~|~k\ not\equiv\pm 1{\pmod{6}}}}）=p（n~ |~{\rm{no~parts~恰好出现~once}}次），\，n\，\geq\，1，\，$

或

$p（n~|~{\rm{parts}}\ in \{{\rm}k~|~k\ not\equiv\pm 1{\pmod{6}}}）=p（n~ |~{\rm{parts~ occurrences}}\neq 1），\，n\，\geq\，1.\，$

二元表示分区恒等式的唯一性

$p（n~|~{\rm{parts}}\in\{1\}）=1=p（n~2}}的不同幂），\，n\，\geq\，1.\，$

或

$p（n~|~{\rm{parts}}\in\{1\}）=1=p（n~ |~{\rm{count}}\in \{0,1\}{\rm}的~parts}的~幂}\in\{\rm的~2}}），\，n\，\geq\，1.\，$

基k表示分区恒等式的唯一性

$｛\displaystyle p（n~|~｛\rm｛parts｝｝｝\in\｛1\｝）=1=p（n~|~｛\rm｛up~ to ~｝）k-1｛\rm｛~ of ~｝k的任意~次方），\，n\，\geq\，1.\，｝$

或

$p（n~|~{\rm{parts}}\ in \{1\}）=1=p（n~ |~{\rm{count}}\ in\{0，\ldot，k-1\}{\rm}的~parts}}\ in \{\rm{~k}}的幂~），\，k\，>\，1，\，n\，\geq\，1.\，$

序列

A000009号的扩展

∏ ∞ 米  = 1 (1 +x个 米)

; 分区数

n个

分成不同的部分；分区数

n个

变成奇怪的部分，

n个  ≥   0

.

{1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 22, 27, 32, 38, 46, 54, 64, 76, 89, 104, 122, 142, 165, 192, 222, 256, 296, 340, 390, 448, 512, 585, 668, 760, 864, 982, 1113, 1260, 1426, 1610, 1816, 2048, ...}

A008284号分区数三角形：

T型  (n个,k个) =

分区数

n个

其中最重要的部分是

k个, 1  ≤  k个  ≤  n个

。也包括分区数

n个

进入之内

k个

正极部件(

1  ≤  k个  ≤  n个

).

{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 3, 3, 2, 1, 1, 1, 3, 4, 3, 2, 1, 1, 1, 4, 5, 5, 3, 2, 1, 1, 1, 4, 7, 6, 5, 3, 2, 1, 1, 1, 5, 8, 9, 7, 5, 3, 2, 1, 1, 1, 5, 10, 11, 10, 7, 5, 3, 2, 1, 1, 1, 6, 12, 15, 13, 11, 7, ...}

另请参见

• 分区
• 受限分区

• 成分标识