Sobolev嵌入定理

Sobolev嵌入定理是功能分析这证明了索博列夫空间 可以是嵌入的在各种空间中，包括,、和用于各种域,在里面以及其他值,,,,,、和（通常取决于域的属性和).因为有许多这样的嵌入是可能的，所以许多单独的结果可以称为“Sobolev嵌入定理，而实际上短语”“嵌入定理”被认为是一个涵盖所有这些内容的总括术语结果。

为了继续，让是一个域（即有界的,有联系的 开式集合)在里面然后让成为交叉属于用一个超平面尺寸的在里面对于.让,为整数，并设。在这些结构下，一个有数字属于功能空间嵌入，集合这将被称为Sobolev嵌入定理。

例如，如果满足所谓的“锥形条件”（即。，如果存在有限锥体这样，每个是有限圆锥体的顶点包含在中与…一致)，然后

如果有或者如果和.对于这种情况,,和,一个也有

和

对于.如果不是这样,然后

和

对于.最后，如果如果有或者如果和,然后

和

对于.请注意，上述嵌入基本上都是由索博列夫引起的，仅取决于在,,,,,,和圆锥体的尺寸在锥形条件下。

其他类型的域也提供了许多嵌入。如果满足所谓的“强局部Lipschitz条件”（即，如果每个点在边界上属于有一个邻居其与是图表的Lipschitz函数)例如，然后是目标空间（1）可以替换为较小的空间此外，如果，然后

对于.如果不是这样,然后

（9）也适用于前提是和.

通过所谓的Sobolev嵌入不等式，可以完全或几乎完全证明上述结果。这些不平等源自这个小木-桃树分解函数的在里面L（左）-第页对于的确，在这种情况下，闵可夫斯基的不平等结合这样一个函数的Littlewood-Paley分解意味着许多不平等，例如。，

什么时候满足.如果发生以下情况和，有一个类似的不等式：

哪里满足.只要相应的右手边为有限的，可以进一步扩展使用分数的区别和集成操作员以产生前面所述的许多嵌入结果。

上述结果可以进一步修改，以允许更通用的嵌入。例如，如果-上面嵌入的空格被替换为Sobolev空间（即函数的Sobolef空间追踪其中-订单导数对所有人都消失了)，则生成的嵌入适用于任意域在里面.此外，可以看出与上述锥体相关的嵌入件域的条件仍然有效只满足“弱锥条件”