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四元数

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四元数是非对易的 除法代数首先由威廉·罗文·汉密尔顿发明。四元数的想法出现了当他沿着皇家运河去参加爱尔兰学院，汉密尔顿对自己的发现非常满意四元数代数的基本公式，

i^2=j^2=k^2=ijk=-1，
(1)

布劳厄姆大桥的石头（Mishchenko和Solovyov 2000）。表示四元数集H（H）,H（H），或问题_8，四元数是更通用的类别超复数发现者汉密尔顿。虽然四元数不是可交换的，但它们是关联的，并且表格a组被称为四元数组.

通过类推复数可表示为真实的和想像的部分,a·1+bi,四元数也可以写成线性组合

H=a·1+bi+cj+dk。
(2)

四元数a+bi+cj+dk实现为四元数[一,b条,c（c）,d日]在中沃尔夫拉姆语言包裹四元数`然而，其中一,b条,c（c）、和d日必须是显式实数。另请注意非交换乘法（即。，**)必须用于这些对象的相乘，而不是常用乘法（即。，*).

各种各样的分形可以在四元数空间中探索。例如，修复j=k=0给出了复杂平面，允许曼德尔布罗特设置.通过固定j个或k个以不同的值，三维四元数分形已经产生（桑丁等。，Meyer 2002年，Holdaway2006).

四元数可以用复数表示2×2 矩阵

H=[z w；-w^_z ^_]=[a+ib c+id；-c+id a-ib]，
(3)

哪里z（z）和w个是复杂的数字,一,b条,c（c）、和d日是真实的、和z（z）^_是复共轭属于z（z）.

四元数也可以使用复数表示2×2矩阵

U型=[1 0; 0 1]
(4)
我=[i 0；0-i]
(5)
J型=[0 1; -1 0]
(6)
K（K）=[0 i；i 0]
(7)

（阿夫肯1985年，第185页）。注意这里U型用于表示身份矩阵，不是我.矩阵与泡利矩阵 西格玛x,西格玛（_y）、和西格玛z与身份矩阵.

根据上述定义，如下所示

我^2=-U型
(8)
J^2公司=-U型
(9)
K^2公司=-美国。
(10)

因此我,J型、和K（K）是矩阵方程的三个本质不同的解

X^2=-U，
(11)

它可以被认为是负单位矩阵的平方根线性组合带整数的基四元数系数有时称为哈密顿量整数.

在R^4号，四元数的基础可以由……提供

我=[0 1 0 0; -1 0 0 0; 0 0 0 1; 0 0 -1 0]
(12)
j个=[0 0 0 -1; 0 0 -1 0; 0 1 0 0; 1 0 0 0]
(13)
k个=[0 0 -1 0; 0 0 0 1; 1 0 0 0; 0 -1 0 0]
(14)
1=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1].
(15)

四元数满足以下恒等式，有时称为汉密尔顿的规则,

i^2=j^2=k^2=-1
(16)
ij=-ji=k
(17)
jk=-kj=i
(18)
ki=-ik=j。
(19)

他们有下面的乘法表。

1我j个k个
11我j个k个
我我-1k个-j个
j个j个-k个-1我
k个k个j个-我-1

四元数+/-1,+/-我,+/-j个、和+/-k个表格a非阿贝尔人 组八阶（以乘法作为分组运算）。

四元数可以这样写

a=a1+a2i+a3j+a4k。
(20)

这个四元数共轭由提供

a^_=a1-a2i-a3j-a4k。
(21)

那么两个四元数的和是

a+b＝（a_1+b_1）+（a_2+b_2）i+（a_3+b_3）j+（a_4+b_4）k，
(22)

两个四元数的乘积是

ab公司=（a1b1-a2b2-a3b3-a4b4）+（a1b2+a2b1+a3b4-a4b3）i+（a1 b3-a2b4+a3 b1+a 4b2）j+（a 1b4+a 2b3-a3b2+a 4b1）k。
(23)

这个四元数范数因此定义为

n（a）=平方（a^a）=sqrt（a_1^2+a_2^2+a_3^2+a _4^2）。
(24)

在这个符号中，四元数与四个矢量.

四元数可以解释为标量加上一个矢量通过写作

a=a1+a2i+a3j+a4k=（a1，a），
(25)

哪里a=[a2a3a4].在这个符号中，四元数乘法的形式特别简单

问题1问题2=（s1，v1）·（s2，v2）
(26)
=（s1s2-v_1·v_2，s1v_2+s2v_1+v_1xv_2）。
(27)

除法是唯一定义的（除零外），因此四元数构成分开代数四元数的逆（倒数）由下式给出

a^（-1）=（a^_）/（[n（a）]^2），
(28)

范数是乘法的

n（ab）=n（a）n（b）。
(29)

事实上，两个四元数范数的乘积立即给出欧拉四边形恒等式.

围绕单位向量 n个^^以一个角度θ可以使用四元数计算

q=（s，v）=（cos（1/2 theta），n^ sin（1/2 theTA））
(30)

（Arvo 1994，Hearn和Baker 1996）。此四元数的组件称为Euler参数.旋转后，一个点p=（0，p）然后由给出

p^'=qpq^（-1）=qpq ^_，
(31)

自从n（q）=1.两个旋转的串联，第一个问题1然后问题2，可以使用标识计算

q_2（q_1pq^_1）q^_2=（q_2q_1）p^_
(32)

（戈尔茨坦1980）。

另请参见

双四元数,Cayley-Klein参数,复数,部门代数,Euler参数,四矢量,哈密顿整数,超复合体编号,八元数,四元数结合,四元数组,四元数标准 探索这个数学世界课堂上的主题

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参考Wolfram | Alpha

四元数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“四元数。”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Quaternion.html

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