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卢卡斯序列

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让P（P）,问是整数令人满意的

D=P^2-4Q>0。
(1)

然后根属于

x^2-Px+Q=0
(2)

是

一=1/2（P+平方米（D））
(3)
b条=1/2（P-sqrt（D）），
(4)

所以

a+b=P（P）
(5)
ab公司=1/4（P^2-D）
(6)
=问
(7)
a-b公司=sqrt（D）。
(8)

现在定义

U_n（P，Q）=（a^n-b^n）/（a-b）
(9)
V_n（P，Q）=a^n+b^n
(10)

对于整数n> =0,所以前几个值是

U（_0）=0
(11)
U_1型=1
(12)
二氧化铀=P（P）
(13)
U_3型=P^2-Q公司
(14)
U_4型=P（P^2-2Q）
(15)
U_5号机组=P^4-3QP^2+Q^2
(16)
U_6（_6）=P（P^2-3Q）（P^2Q）
(17)
U_7（_7）=P^6-5QP^4+6Q^2P^2-Q^3
(18)
U_8（_8）=P（P^2-2Q）（P^4-4QP^2+2Q^2）
(19)
U_9（_9）=（P^2-Q）（P^6-6QP^4+9Q^2P^2-Q^3）
(20)
U_（10）=P（P^4-3QP^2+Q^2）
(21)

和

V_0（V）=2
(22)
第1版=P（P）
(23)
第2版=P^2-2季度
（24）
V_3级=P（P^2-3Q）
(25)
V_4型=P^4-4QP^2+2Q^2
(26)
第5版=P（P^4-5QP^2+5Q^2）
(27)
V_6=（P^2-2Q）（P^4-4QP^2+Q^2）
(28)
第7版=P（P^6-7QP^4+14Q^2P^2-7Q^3）
(29)
第8版=P^8-8QP^6+20Q^2P^4-16Q^3P^2+2Q^4
(30)
第9版=P（P^2-3Q）（P^6-6QP^4+9Q^2P^2-4Q^3）
(31)
V_（10）=（P^2-2Q）（P^8-8QP^6+19Q^2P^4-12Q^3P^2+Q^4）。
(32)

这些的闭合形式如下所示

单位（_n）=2^（1-n）sum_（k=0）^（|_（n-1）/2_|）（n；2k+1）P^（n-2k-1）（P^2-4Q）^k
(33)
V_n（n）=2^（1-n）总和_（k=0）^（|_n/2_|）（n；2k）P^（n-2k）（P^2-4Q）^k。
(34)

序列

U（P，Q）={U_n（P，Q）：n>=1}
(35)
V（P，Q）={V_n（P，Q）：n>=1}
(36)

称为卢卡斯序列，其定义通常扩展为包括

U_（-1）=（a^（-1）-b^（-1-））/（a-b）=（-1）/（ab）=-1/Q。
(37)

下表总结了以下特殊情况U_n（P，Q）和V_n（P，Q）.

（P、Q）单位（_n）V_n（n）
(1,-1)斐波那契数字卢卡斯数字
(2,-1)佩尔数字Pell-Lucas数字
(1,-2)雅各布斯塔尔数字Pell-Jacobsthal数

卢卡斯序列满足一般重现关系

U_（m+n）=（a^（m+n）-b^（m+n））/（a-b）
(38)
=（（（a^m-b^m）（a^n+b^n））/（a-b）-（a^nb^n（a^n-n）-b^（m-n）））/
(39)
=U_mV_n-a^nb^nU_（m-n）
（40）
V_（m+n）=a ^（m+n）+b ^（m+n）
(41)
=（a^m+b^m）（a^n+b^n）-a^nb^n（a^（m~n）+b^（m-n））
(42)
=V_mV_n-a^nb^nV_（m-n）。
(43)

拿n=1然后给出

U_m（P，Q）=PU_（m-1）（P，Q）-QU_（m-2）（P、Q）
(44)
V_m（P，Q）=PV_（m-1）（P，Q）-QV_（m-2）（P、Q）。
（45）

其他身份包括

U_（2n）=U _ n V _ n
(46)
U_（2n+1）=U_（n+1）V_n-Q^n
(47)
V_（2n）=V_n^2-2（ab）^n
(48)
=V_n^2-2Q^n
（49）
V_（2n+1）=V_（n+1）V_n-PQ^n。
（50）

这些公式允许计算大型n个分解成一个链，其中只有四个量必须一次跟踪，所需的步骤数为～lgn。如果n个在因子分解中有许多2s。

另请参见

Binet表单,斐波那契数,雅各布斯塔尔数,卢卡斯·莱默测试,卢卡斯数,卢卡斯多项式序列,Pell编号,递归顺序,西尔维斯特分圆数

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卢卡斯序列

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。《卢卡斯序列》摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/LucasSequence.html

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