小木-桃树分解

在以下领域功能性的和谐波分析，Littlewood-Paley分解是一种特殊的分解方式这个相平面它只需要一个函数将其写为可数无限频率变化的函数族。Littlewood-Paley分解为对数学的多个领域感兴趣，并形成所谓的利特伍德-佩利理论。

要在上构造分解，让成为实际价值的 径向的 凹凸函数具有支持

在片场等于1哪里

接下来，对于，让成为碰撞功能支持于环形空间

其导数满足不等式

对于一些正数以及所有人多指标 .通过构造，凹凸功能满足

为所有人,从而提供特定的单位分割允许任意函数分解为

哪里是一个投影算子（所谓的Littlewood-Paley投影操作符）由定义

以及在哪里和表示正向和反向傅里叶变换在里面属于分别是。此分解用于被称为Littlewood-Paley分解。

而上述分解是针对函数的假定为平方可积的,几乎可以分解任何在无穷远处有衰减的函数，例如，任何施瓦茨函数 .对于函数然而，Littlewood-Paley分解满足许多重要属性。例如，-可积函数与梯度操作人员在满足

和

暗示启发式关系的事实

因此导数在里面可以（启发性地）拆分为线性的结合Littlewood-Paley运营商。此外，通过闵可夫斯基的不平等,

与早先的导数估计相结合的不等式意味着所谓的非端点Sobolev嵌入不等式：

用于所有功能在里面其中右侧是有限的，其中满足。如果和，上述估计也可以证明所谓的端点Sobolev嵌入不等式：

为所有人在里面其中右侧是有限的，其中满足这些Sobolev嵌入不等式可以扩展甚至进一步使用分数微分和集成操作员证明标准索波列夫嵌入定理，一个事实使Littlewood-Paley分解在研究索博列夫和相关空间。

实际上，上述分解有时被称为齐次Littlewood-Paley分解属于与明显但性质相似的分解称为不均匀的小木-桃树分解。要定义后者，请写下

以便

并重新进行上述施工，以便（而不是). 虽然很微妙，但这种区别导致了定义一些函数空间的齐次和非齐次版本在许多情况下具有同等重要性。