内积是点积。在向量空间,这是一种乘法向量加起来,这个乘法的结果是标量.
更准确地说,对于实向量空间,内部产品满足以下四个属性。让,,和是向量和是标量,则:
1.
2.
三。.
4当且仅当如果.
上面列表中的第四个条件称为正定的条件。与此相关,请注意一些作者将内积定义为一个函数在附加(较弱)条件下,仅满足上述前三个条件(弱)非退化(即,如果为所有人,然后). 在此类文献中,满足所有四个此类条件通常被称为正定内积(拉特克利夫2006年),尽管有时称不具备正定性的内部产品不确定以避免混淆。这种差异虽然很微妙,但却引入了一个数字值得注意的现象:例如,内部产物不是正定的可能会产生“规范”,产生一定的假想量向量(这种向量称为类太空的)以及归纳出“指标”,这些指标并不是实际的指标。这个洛伦兹内积是不定内积的一个例子。
A类向量空间与上面的内积一起称为内部产品空间.此定义也适用于抽象向量空间在任何字段上。
内部产品空间的示例包括:
1实数 ,其中内积由
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(1)
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2欧几里德空间 ,其中内积由点产品
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(2)
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3.的向量空间实函数谁的领域是一个封闭区间 带内积
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(3)
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当给出一个复向量空间,第三个上述属性通常替换为
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(4)
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哪里指复共轭。使用此属性,内积称为Hermitian内部产品和a复向量空间具有一厄米内积称为埃尔米特内部产品空间.
每个内部产品空间都是度量空间. The米制的由提供
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(5)
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如果此过程导致完备度量空间,它被称为希尔伯特空间.什么是此外,每个内部产品都会自然地产生一种形式规范
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(6)
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因此,每个内部产品空间自然也是赋范空间如上所述,未达到正定产量的内部产品“度量”——因此,“规范”——实际上是一些东西由于不符合各自积极条件的可能性不同。例如,-维度的洛伦兹空间(即内部产品空间包括带有洛伦兹内部产品)配备有米制的张量表单的
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(7)
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和形式的平方范数
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(8)
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对于所有矢量.特别是,可以有负无穷小距离和平方范数,如以及向量范数总是零的非零向量。因此,度量(分别为,规范)未能事实上是一个度量(分别是一个规范),尽管它们通常在没有出现混淆的情况下仍被称为这样。
另请参见
完整度量空间,点积,埃尔米特人内部产品,希尔伯特空间,内部产品空间,室内产品,L2-内部产品,轻量级,洛伦兹内部产品,洛伦兹空间,闵可夫斯基公制,闵可夫斯基空间,已规范空间,正定二次型表格,太空般的,时间性的 探索此主题在数学世界教室里
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工具书类
米斯纳,C.W。;Thorne,K.S。;和Wheeler,J.A。引力。加利福尼亚州旧金山:W.H。弗里曼,第53页,1973年。拉特克利夫,J·G·。基础双曲流形。纽约:Springer-Verlag,2006年。引用关于Wolfram | Alpha
内部产品
引用如下:
约翰·伦泽;克里斯托弗·斯托弗; 和埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“内部产品。“来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/InnerProduct.html
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