抽象向量空间

一个抽象的维向量空间超过领域 是所有形式表达式的集合

(1)

哪里是一组给定的对象（称为基础)和是任何-的元素元组。两个这样的表达式可以通过求和来相加系数，

(2)

这个加法是一个交换群运算，因为零元素是和的倒数是此外，还有一种天然的定义任何元素乘积的方法通过任意元素（所谓的标量）属于,

(3)

请注意，乘1将使元素保持不变。

这种结构是对通常的向量空间结束,标量场是实数场和a基础由提供.与此相同特殊情况下，在任何抽象向量空间中，标量乘法满足以下两个分配法律：

1.面向所有人以及所有,.

2.面向所有人以及所有,.

这些是任何交换加法群中整数倍数的基本性质。产品相对于总和的这种特殊行为定义了线性结构的概念，这是皮亚诺在1888年首次提出的。

线性意味着，特别是零元素和属于和消灭任何产品。从（1）可以看出

(4)

为所有人,而从（2）可以看出

(5)

为所有人.

如果承认基有无穷多个元素，则得到了一类更一般的抽象向量空间。在这种情况下，向量空间被称为无限维，其元素是除有限个系数外所有系数都等于零的形式表达式。