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埃尔米特内积


Hermitian内部产品复向量空间 V(V)是一个复值双线性形式V(V)哪个是反线性的在中第二个槽,并且是正定的。也就是说,它满足以下属性,哪里z^_表示复共轭属于z(z).

1<u+v,w>=<u,w>+<v,w>

2<u,v+w>=<u,v>+<u,w>

三。<alphau,v>=alpha<u,v>

4<u,alphav>=alpha^_<u,v>

5<u,v>=^_

6<u,u>>=0,仅当u=0

基本示例是表单

 h(z,w)=总和^__i
(1)

C^n(中文),哪里z=(z_1,…z_n)w=(w_1,…,w_n).注意,通过书写z_k=x_k+iy_k,可以考虑C^n~R^(2n),在这种情况下R[小时]是欧几里得的吗内积I[小时]是非退化交替双线性形式即。,辛形式.明确地说,在抄送2,标准的厄米特形式如下所示。

 h((z(11),z(12)),(z(21),z(22)))=x(11)x(21)+x(12)x(22)+y(11)y(21)+y(12)y(22)+i(x(21)y(11)-x(11)y(21)+x(22)y(12。
(2)

一种通用的爱米特内部产品实部对称正定及其虚部辛属性5和6。矩阵H=(H(ij))通过定义满足1-5的反线性形式<e_i,e_j>=h(ij) 若(iff) H(H)是一个厄米矩阵.右[右]是一个正定的矩阵.以矩阵形式,

 <v,w>=v^(T)Hw^_
(3)

而经典的厄米特内积是H(H)单位矩阵.


另请参见

复数,厄米特公制,内部产品,积极的确定二次型,辛形式,统一基础,一元化(Unitary),酉矩阵,矢量空间

此条目由贡献托德罗兰

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引用如下:

托德·罗兰.“Hermitian Inner Product”摘自数学世界--Wolfram Web资源,创建人埃里克韦斯特因.https://mathworld.wolfram.com/HermitianInnerProduct.html网站

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