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高斯圆问题

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高斯圆问题

数一数晶格点 N（r）号在边界内圆圈属于半径 第页中心位于原点。精确解由下式给出这个总和

N（r）号=1+4|_r_|+4sum_（i=1）^（|_r_ |）|_sqrt（r^2-i^2）_|
(1)
=1+4sum_（i=1）^（r^2）（-1）^_|
(2)
=1+4sum_（i=0）^（infty）（|_（r^2）/（4i+1）_|-|_（r ^2）或（4i+3）_|）
(3)

（希尔伯特和科恩·沃森，1999年，第39页）。的前几个值r=0, 1, ... 是1、5、13、29、49、81、113、149。。。（组织环境信息系统A000328号).

的系列N（r）号与平方和功能 r（n）（即n个两个方格），因为

N（r）=总和_（N=0）^（r^2）r（N）
(4)

（哈代1999年，第67页）。N（r）号也与莱布尼兹系列自从

1/4[（N（r））/（r^2）-1/（r ^2）]=1-1/3+1/5-1/7++/-1/r+/-（E（r））/r=1/4[pi+2Phi（-1,1,1/2+r）]+/-（E（r））/r=1/4[pi+psi_0（1/4（3+2r）））-psi_0（1/4（1+2r））]+/-（E（r））/r，
(5)

哪里Phi（z，s，a）是一个超然的牧师和psi0（x）是一个迪伽马函数,所以要突破极限r->输入给予

1/4π=1-1/3+1/5-1/7+1/9+。。。
(6)

（希尔伯特和科恩·沃森，1999年，第39页）。

高斯证明了

N（r）=pir^2+E（r），
(7)

哪里

|E（r）|<=2sqrt（2）pir
(8)

（哈代1999年，第67页）。

高斯圆Pi

的前几个值N（r）/r^2分别是5、13/4、29/9、49/16、81/25、113/36、149/49、197/64、，253/81, 317/100, 377/121, 49/16, ... （组织环境信息系统A000328号和A093837号). 如上图所示，的值第页这样的话N（r）/r^2>pi是r=2,3, 4, 6, 11, 16, 21, 36, 52, 53, 86, 101, ... （组织环境信息系统A093832号).

写作|E（r）|<=Cr^theta,最佳边界θ是

1/2<θ<=131/208约0.62981
(9)

（赫胥黎2003）。下限1/2是哈代和朗道于1915年独立获得的。下表总结了上限的增量改进（更新自Hardy 1999，第81页）。

θ大约。引用
11迪里克莱
2/30.66667沃罗诺伊（1903），西尔宾斯基（1906），范德科尔普特（1923）
37/560.66071利特伍德和沃尔菲斯（1925）
33/500.66000厢式货车科尔普特（1922）
27/410.65854范德科尔普特（1928）
15/230.65217
24/370.64865陈（1963），科雷斯尼克（1969）
35/540.64815科雷斯尼克(1982)
278/4290.64802科雷斯尼克
34/530.64151维诺格拉多夫（1935）
7/110.63636Iwaniec和Mozzochi（1988）
46/730.63014赫胥黎(1993)
131/2080.62981赫胥黎（2003）

该问题还扩展到二次曲线，椭球体（哈代1915）和更高维度。

另请参见

圆形晶格点,Dirichlet除数问题,莱布尼兹系列,辛泽尔圆,总和平方函数

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Bohr，H.和Cramér，H.《椭球问题》，收录于《扎伦索里分析的新Entwicklung》第IIC88章在里面Enzykl公司。d.数学。威斯。，第2卷第3部分第2期 二C 8, 823-824,1922.Chen，J.-R.，“圆中的格点”科学。西尼卡 12, 633-649, 1963.Cilleruello，J.“分布圆上的格点。"J.编号Th。 43, 198-202, 1993.格雷厄姆，南威尔士。和G.Kolesnik。厢式货车Der Corput的指数和方法。英国剑桥：剑桥大学出版社，1991年。盖伊，R.K。“高氏格点问题。”§F1英寸未解决数论问题，第二版。纽约：Springer-Verlag，第240-241页，1994G.H.哈代。“关于数字作为和的表达式两个正方形。"夸脱。数学杂志。 46, 263-283, 1915.哈代，G.H.公司。拉马努扬：关于他的生活和工作所建议主题的十二讲，第三版。纽约：切尔西，1999年。G.H.哈代。和Wright，E.M。安数字理论导论，第5版。英国牛津：克拉伦登出版社，第268-269页，1979年。Hilbert，D.和Cohn-Vossen，S。几何图形和想象力。纽约：切尔西，第33-351999页。赫胥黎，M.编号。“指数和和格点。”程序。伦敦数学。Soc公司。 60, 471-502, 1990.M.N.赫胥黎。“勘误表：“指数和和格点。”"程序。伦敦数学。Soc公司。 66,70, 1993.M.N.赫胥黎。“指数和和格点。二、。"程序。伦敦数学。Soc公司。 66, 279-301, 1993.赫胥黎，M.编号。“指数和与格点III。”程序。伦敦数学。Soc公司。 87, 5910-609, 2003.Iwaniec，H.和Mozzochi，C.J。“关于除数和圆问题。”J.编号。第。 29, 60-93,1988H·B·凯勒。和J.R.斯文森。“上的实验高斯格问题。"数学。计算。 17, 223-230, 1963.科雷斯尼克，总会计师。“除数问题中余项的改进。”马特·扎梅特基 6, 545-554, 1969. 英语翻译数学。笔记 6,784-791, 1969.Kolesnik，G.“关于泽塔（1/2+it）和三角洲（R）."太平洋数学杂志。 98, 107-122,1982Landau，E.“Neue Untersuchungenüber die Pfeiffer'sche”Methode zur Abschätzung von Gitterpunktanzahlen公司。"Sitzungsber。d.数学性质。凯撒级。阿卡德。d.Wissenschaften，2。维也纳Abteilung，编号124，469-505, 1915.Landau，E.“在einem mehrdimensionalen中使用Gitterpunkte椭圆体。“在Zhur分析中，Zahlentheorie der definiten quadrischen Formen。Sitzungsber。d.柏林数学。Gesellschaft公司, 458-476, 1915.朗道，E.“在gewissen Bereichen.I.中，你会死在Anzahl der Gitterpunkte”纳克里斯。诉d.Gesellschaft d.Wiss。祖·哥廷根，数学-物理。克拉斯, 687-770, 1912.朗道，E.“在gewissen Bereichen.II中，你将成为Anzahl der Gitterpunkte。”纳克里斯。诉d.Gesellschaft d.Wiss。祖·哥廷根，数学-物理。克拉斯, 209-243, 1915.朗道，E.“在gewissen Bereichen.III中，你将成为Gitterpunkte的Anzahl der”纳克里斯。诉d.Gesellschaft d.Wiss。祖·哥廷根，数学-物理。克拉斯,96-101, 1917.Landau，E.“Anzahl der Gitterpunkte的未来在gewissen Bereichen。四、 “”纳克里斯。诉d.Gesellschaft d.Wiss。祖·哥廷根，数学-物理。克拉斯, 137-150, 1924.Landau，E.“你死定了埃因姆·克雷泽的Gitterpunkte。一、“纳克里斯。诉d.Gesellschaft d.Wiss。zu哥廷根，数学-物理。克拉斯, 148-160, 1915.朗道，E.“Über die埃因姆·克雷泽的Gitterpunkte。二、。"纳克里斯。诉d.Gesellschaft d.Wiss。祖哥廷根，数学-物理。克拉斯, 161-171, 1915.兰道，E.“尤伯在埃因姆·克雷泽死了Gitterpunkte。三、 “”纳克里斯。诉d.Gesellschaft d.Wiss。祖·哥廷根，数学-物理。克拉斯, 109-134,1920.兰道，E.“尤伯在埃因姆·克雷泽死了Gitterpunkte。四、 “”纳克里斯。诉d.Gesellschaft d.Wiss。祖·哥廷根，数学-物理。克拉斯, 58-65, 1924.兰道，E.“尤伯在埃因姆·克雷泽死了Gitterpunkte。五、“纳克里斯。诉d.Gesellschaft d.Wiss。祖·哥廷根，数学-物理。克拉斯135-136, 1924.兰道，E.“尤伯Gitterpunkte，单位为mehrdimensionalen Ellipsoiden。一、“数学。Z.公司。 21,126-132, 1924.Landau，E.“mehrdimensionalen中的U ber Gitterpunkte椭圆体。二、。"数学。Z.公司。 24, 299-310, 1925.朗道，E.公司。沃勒松根尤伯·扎伦索里，第2卷。纽约：切尔西，第183-308页，1970Landau，E.和van der Corput，J.G。“德意志银行在ebenen Bereichen。"纳克里斯。v.d.Gesellschaft d.Wissenschaften zu Göttingen一案，数学-物理。克拉斯, 135-171, 1920.Le Lionnais，F。女同性恋名字是可以重复的。巴黎：赫尔曼，第24页，1983年。利特伍德，J·E。圆的格点E.Landau教授）。"程序。罗伊。伦敦证券交易所（A） 106, 478-488,1925新泽西州斯隆。答：。序列A000328号/M3829，A093832号、和A093837号在“整数序列在线百科全书”中蒂奇马什，欧洲委员会。“关于范德科尔普特方法和黎曼I的齐塔函数。”夸脱。数学杂志。（牛津） 2, 161-173, 1931.蒂奇马什，欧洲委员会。“关于范德科尔普特方法和黎曼II的齐塔函数。”夸脱。数学杂志。（牛津） 2, 313-320, 1931.蒂奇马什，欧洲委员会。“点阵指向一个圆。”程序。伦敦数学。Soc公司。 28,96-115, 1934.东卡罗来纳州蒂奇马什。“勘误表.格点在一个圆中。"程序。伦敦数学。Soc公司。 38, 555, 1935.厢式货车德科尔普特，J.G。“Zum Teiler问题。”数学。安。 98,697-716, 1928.维诺格拉多夫。“Anzahl der Gitterpunkte进入德库格尔。"Traveaux Inst.Phys.公司-数学。Stekloff（列宁格勒） 9,17-38, 1935. [俄语]。

参考Wolfram | Alpha

高斯圆问题

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“高斯圆问题。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/GausssCircleProblem.html

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