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Fish曲线

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鱼类曲线

fish曲线是本书中为椭圆负踏板曲线具有踏板点在焦点对于的特殊情况偏心，偏心 e^2=1/2。对于椭圆具有参数方程

x个=阿科斯特
(1)
年=（asint）/（sqrt（2）），
(2)

相应的fish曲线有参数方程

x个n=a成本-（asin ^2t）/（sqrt（2））
(3)
y_n号=一个代价。
(4)

这个笛卡尔方程是

-2a^4sqrt（2）a^3x-2a^2（x^2-5y^2）+（2x^2+y^2
(5)

当起源转换为节点，可以被写入

（2x^2+y^2）^2-2sqrt（2）ax（2x|2-3y^ 2）+2a^2（y^2-x^2）=0
(6)

（洛克伍德，1957年）。

鱼类曲线片

在上述参数化中，曲线内部的方向不一致，鱼的头部位于曲线的左侧，尾巴位于曲线的右侧。分别处理这两块，然后将尾部和头部的区域表示为

A_（尾部）=（2/3-pi/（4平方（2）））a^2
(7)
A_（头部）=（2/3+pi/（4sqrt（2）））a^2，
(8)

给出鱼类的总面积

A=4/3a^2
(9)

（洛克伍德，1957年）。

这个弧长曲线的

秒=整数平方（x^（'2）+y^（'2））dt
(10)
=aint_0^（2pi）平方英尺（cos^4t+（1+2sqrt（2）成本）sin^2t+sin^4t）dt
(11)
=asqrt（2）（1/2pi+3）
(12)

（洛克伍德，1957年）。

这个曲率和相切的角由提供

卡帕（吨）=（2sqrt（2）+3成本-成本-成本（3t））/（2a[cos^4t+sin^2t+sin ^4t+平方（2）sintsin（2t）]^（3/2））
(13)
φ（t）=pi-arg（平方（2）-1-2/（（1+sqrt（2））e^（it）-1）），
(14)

哪里arg（z）是复杂的论点.

Tschirnhausen立方鱼

这个奇恩豪森立方，如上图所示，也像鱼一样三叶曲线.

另请参见

伯利椭圆,椭圆负踏板曲线,Folium公司,塔尔伯茨曲线,三叶曲线,钦豪申立方（Cubic）

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洛克伍德，E.H。“椭圆相对于焦点的负踏板曲线。”数学。加兹。 41, 254-257, 1957.洛克伍德，E.H.公司。A类曲线书。英国剑桥：剑桥大学出版社，第157页，1967

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“鱼曲线。”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/FishCurve.html

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