双因子——来自Wolfram MathWorld

双因子

正整数的二重阶乘是通常情况的概括阶乘的由定义

不={n·（n-2）…5·3·1n>0奇数；n·（n-2）…6·4·2n>0偶数；1n=-1,0。

(1)

请注意,根据定义（Arfken 1985，第547页）。

符号的来源似乎并不广为人知，也没有提及在Cajori（1993）中。

对于,1, 2, ..., 前几个值是1、1、2、3、8、15、48、105、384。。。（组织环境信息系统A006882号). 十进制数字对于, 1, ... 是1、4、80、1285、17831、228289、2782857、32828532、，…（OEIS）A114488号).

双阶乘在沃尔夫拉姆语言作为n个!! 或工厂2[n个].

双阶乘是多因素的.

双阶乘可以用伽马射线功能通过

(2)

（阿夫肯1985年，第548页）。

还可以使用定义将双阶乘扩展为负奇整数

			(3)
			(4)

对于,1, ... （阿夫肯1985年，第547页）。

	分钟	马克斯
重新
伊姆河

类似地，双阶乘可以扩展到复杂参数，如下所示

(5)

有许多恒等式与双阶乘有关阶乘.自

（2n+1）！！2^nn！=[（2n+1）（2n-1）…1][2n][2（n-1）][2]（n-2）]。。。2·1 =[（2n+1）（2n-1）…1][2n（2n-2）（2n-4）…2]=（2n+1）（2n）（2n-1）。。。2·1 =（2n+1）！，

(6)

由此可见.对于,1, ..., 前几个值是1、3、15、105、945、10395。。。（组织环境信息系统A001147号).

此外，因为

			(7)
			(8)
			(9)

由此可见.对于,1, ..., 前几个值是1、2、8、48、384、3840、46080。。。（组织环境信息系统A000165号).

最后，因为

（2n-1）！！2^nn！=[（2n-1）（2n-3）…1][2n][2（n-1）][2]（n-2）]。。。2(1) =（2n-1）（2n-3）。。。1] [2n（2n-2）（2n-4）…2]=2n（2n-1）（2n-2）（2n-3）（2n-4）。。。2(1) =（2n）！，

(10)

由此可见

(11)

对于古怪的,

			(12)
			(13)
			(14)

对于即使,

			(15)
			(16)
			(17)

因此，对于任何,

(18)

(19)

双阶乘满足美丽的级数

			(20)
			(21)
			(22)

后者给出闭合形式的倒易双因子之和为

			(23)
			(24)
			(25)

（组织环境信息系统A143280号)，其中是较低的不完整的伽马函数。此金额是相互的多因子常数.

应付给Ramanujan的封闭式金额如下所示

(26)

（哈代1999年，第106页）。Whipple（1926）概括了这一总和（Hardy 1999，第111-112页）。

工具书类

阿夫肯，G。物理学家数学方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第544-545页和547-5481985年。

梅瑟夫，B.E。“双因子。”阿默尔。数学。每月 55, 425-426, 1948.

新泽西州斯隆。答：。序列A000165号/M1878，A001147号/M3002，A006882号/M0876，A114488号,和A143280号在线百科全书整数序列。"

F.J.惠普尔。西。“关于井喷级数，参数成对的广义超几何级数，每对相同的金额。"程序。伦敦数学。Soc公司。 24, 247-263, 1926.

双因子

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