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特征多项式

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特征多项式是特征方程式

det（A-lambdaI）=0，
(1)

哪里A类是一个平方矩阵和我是单位矩阵尺寸相同。萨缪尔森公式允许特征多项式不带除法递归计算。的特征多项式矩阵米可以在中计算Wolfram语言作为特征多项式[米,x].

的特征多项式2×2矩阵

P_2（x）=（a_（11）a_（22）-a_（12）a_
(2)

可以用特别好的形式重写

P_2（x）=测定值（A）-xTr（A）+x^2，
(3)

哪里Tr（A）是矩阵跟踪属于A类和测定（A）是它的吗行列式.

类似地3×3矩阵是

P_3（x）=测定值（A）+1/2（A_（ij）A_（ji）-A_（ii）A_（jj））x+Tr（A）x^2-x^3，
(4)

哪里爱因斯坦总和已使用，其中也可以根据跟踪显式编写为

P_3（x）=1/6[Tr^3（A）+2Tr（A^3）-3Tr（A）Tr（A1^2）]-1/2[Tr^2（A）-Tr（A^2）]x+Tr（甲）x^2-x^3，
(5)

通常，特征多项式的形式如下

f（λ）=det（λ1-A）
(6)
=λ^n-a_1λ^（n-1）++（-1）^na_n，
(7)

哪里a_1=总和（ii）是矩阵跟踪 Tr（A）矩阵的A类,a_n=det（a）、和a_i是我-矩阵的行对角子项A类（雅各布森1974年，第109页）。

Le Verrier计算图的特征多项式的算法（Balasubramanian 1984；Trinajstić1988；Ivanciuc和Balaban 2000，p.89）可以表示为线性系统的解

[1 0…0 0；a_1 2…0 0；a_2 a_1…0 0；|……|；a_（n-1）a_（n-2）…a_1 n][c_1；c_2；c_3；|；c_n]=[a_1；a_2；a_3；|；a_n]，
(8)

哪里

f（x）=总和（k=0）^nc_kx^（n-k），
(9)

c0=-1,和a_k=Tr（a^k）.

Balasubramanian计算的一种算法c_k（k）使用方程式

c_k=1/kTr（B_（k-1）），
(10)

哪里

B_k=A（B_（k-1）-c-kI）
(11)

（Balasubramanian 1985、1985、1991；Ivanciuc和Balaban 2000，第90页；错误更正）B_0=A和c0=-1.

的特征多项式图表 克定义为其特征多项式邻接矩阵并且可以在沃尔夫拉姆语言使用特征多项式[相邻矩阵[克],x]. 命名图的预先计算特征多项式变量x也可以使用图形数据[图表,“特征多项式”][x].

特征多项式图

特征多项式不能诊断图同构也就是说，两个非同构图可能具有相同的特征多项式的。最小的此类示例出现在所示五个节点上的两个图中上面，两者都有特征多项式4x^3-x^5.不同特征多项式的数量对于上的简单无向图n=1, 2, ... 节点是1、2、4、11、33、151、988、11453。。。（组织环境信息系统A082104号)，给出重复的数量特征多项式为0、0、0，0、1、5、56、893、27311。。。。

下表总结了一些简单图形的特征多项式。

图表特征多项式
完全图 K_2公司（z-1）（z+1）
完成图表 K_3-（z-2）（z+1）^2
完全图 K_4型（z-3）（z+1）^3
循环的，循环的图表 C_3号-（z-2）（z+1）^2
循环图 C_4号机组（z-2）z^2（z+2）
循环的，循环的图表 C_5-（z-2）（z^2+z-1）^2
立体图（z-3）（z-1）^3（z+1）^3
八面体图（z-4）z^3（z+2）^2
四面体图（z-3）（z+1）^3
车轮图表 第5周-z^2（z+2）（z^2-2z-4）
车轮图表 水6（z^2-2z-5）（z^2+z+1）^2

另请参见

凯利-汉密尔顿定理,特征方程,特征值,图形特征值,图表光谱,匹配多项式,矩阵光谱,萨缪尔森公式,稳定性索引

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参考Wolfram | Alpha

特征多项式

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“特征多项式。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/CharacteristicPolynomial.html

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