你好，加里
请参阅的（草稿）版本中的我的评论和讨论笔记A024166号.
你在那里和其他OEIS序列中看到我的公式了吗（我在链接中提供了列表），这些公式已经涵盖了正方形和立方体（但没有涵盖四度，这是你的功劳）？
另请参阅我的OEIS wiki页面的“k倍嵌套整数幂和”部分，它是
https://oeis.org/wiki/用户：Alexander_R._Povolotsky
和
http://math.stackexchange.com/questions/128763/k-fold-nested-sum-of-integer-powers
两个问题：
1） 这是如何联系和/或从Faulhaber公式推导出来的？
2） 有人把这个公式推广到任何程度吗？也就是说，如何将其推广到m倍的公式中m次整数幂的嵌套和？
顺颂商祺，亚历克斯
你好，亚历克斯，
我认为通过普通电子邮件比通过维基页面更容易沟通，但我无法通过这封电子邮件。此外，我还可以附上格式更好的word文档。我看过你的Wiki页面，发现你对数学有一些独特的见解。数学的世界如此广阔，有那么多人比我们聪明得多。就权力总和这一主题而言，人们可以在一本小书中只引用所有关于这一主题的高级论文。。远远超过我的头。尽管如此，探索还是很有趣的，正如约翰·列侬所说。。我们都在发光。是否可以在OEIS上创建一个Wiki页面，然后从给定的序列链接到它？如果是这样的话，将一页链接放在一起，指向与幂和、嵌套幂和、交替幂和相关的所有序列。。等。OEIS中有一个索引，但它非常简单。我一直在研究素性标准，这就是导致我重新审视幂和主题的原因。幂和和粗略数之间有一个有趣的关系。。没有素数因子小于k的数。例如，只有当n是素数或不能被{2,3,5}整除，n>5时，四次幂和才可以被n整除。类似地，只有当n是素数不能被{2,3,5,7,13}整除，n>7时，12次幂之和才能被n整除。我做了一张图表，列出了从4到40的所有偶数幂和。不管怎样，我只是喜欢看很多主题并收集公式。如果你对这个话题感兴趣的话，我已经附上了一个斐波那契公式的索引。（无法发送此消息）
顺颂商祺加里·德特利夫斯
（亚历山大·波沃洛茨基）亚历山大·波沃洛茨基2013年3月4日22:09（UTC）
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谢谢你，亚历克斯。。。我钦佩你的技术技能。我的几乎为零。。我甚至无法在云端发布文档。我多次重温了幂和这个话题，最终发现了我认为是数学中最保守的秘密之一。既然你提到了法尔豪伯，我想你对克努思关于他的论文已经很熟悉了。从某种意义上讲，本文确实给出了任意幂次的r次求和的一般公式。我一直在看的另一个网站是http://www.notificatingnumbers.net/。不知怎的，我发现有一个涉及欧拉三角形的双重求和公式，我在A008292号
欧拉三角形是第r次连续求和（k^j，k=1..n）公式的一个元素，它看起来是和（T（j，k-1）*二项式（j-k+n+r，j+r），k=1.n）。[来自加里·德特利夫斯，2001年11月11日]
不要让我证明，但它确实有效。公式本身只是以不同的方式陈述递归，但。。枫叶以代数形式表达它的能力令人惊叹。我可以提交一个公式，计算任意幂的第r次连续求和，但它们很快就会变大。说到技术，让我们看看我是否可以粘贴一些Maple输出。
Powesum模板。。。基本公式。>
> >Eulerian:=proc（n，k）options运算符，箭头；和（（（-1）^j*（k-j+1）^n*二项式（n+1，j），j=0。。k+1）结束进程；
k+1（千分之一）----- \ )j个
（n，k）->/（-1）（k-j+1）二项式（n+1，j）
----- j=0
>s2:=proc（n，j，r）选项运算符，箭头；总和（欧拉（j，k-1）*二项式（j-k+n+r，j+r），k=1。。n） 终末程序；
n个----- \ )
（n，j，r）->/欧拉（j，k-1）二项式（j-k+n+r，j+r）
----- k=1
>seq（s2（n，3，2），n=1。。20);1, 10, 46, 146, 371, 812, 1596, 2892, 4917, 7942, 12298, 18382, 26663, 37688,
52088, 70584, 93993, 123234, 159334, 203434
> >> >对于n到5个do打印（简化（s2（x，n，r））结束do；
伽马（1+x+r）---------------------γ（2+r）γ（x）（r+2x）γ（1+x+r）--------------------------γ（3+r）γ（x）/ 2 2\ \r+6xr-r+6x/GAMMA（1+x+r）----------------------------------------γ（4+r）γ（x）/ 2 2\ （r+2 x）\ r+12 x r-5 r+12 x/伽马（1+x+r）------------------------------------------------------γ（5+r）γ（x）1 // 4 3 3 2 2 2 2---------------------\\r+30 x r-16 r-90 x r+11 r+150 x rγ（6+r）γ（x）
3 2 4\ \+240 x r-90 x r+4 r+120 x/GAMMA（1+x+r）/
>
好吧，这种做法奏效了。回忆一下伽马（r+k）=（r+k-1）！如果你有枫叶，我可以给你寄一张工作表。
虽然关于这些公式，我没有什么可归因于我的，但有一点我多年前在有关这个主题的文献中从未见过。如果我们将n^k的第r次折叠求和表示为[n，k，r]，那么[n，k，r]=n*[n，k-1，r]-r*[n-1，k-1。。。再说一遍，不要让我证明这一点，但我知道这是真的。我记得八月的一天，我在密歇根湖一处荒凉的海滩上度过了一个日出日落的日子，倾泻在三维阵列的打印输出上。我记得曾看过有关主题的二叉树数据结构。。。。令人困惑的
总之，现在就这些了。。。很高兴见到你。我看到你住在马萨诸塞州。
加里
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同样，加里，很高兴与你交流。那纯粹是我的运气（；-），你花了一些时间在以下网站上发表你的欧拉三角评论：A008292号2001年11月11日，直到现在才开始发布r-次求和公式-这次延迟确实让我有机会坚持使用我自己的OEIS几个公式，甚至不知道您的评论是否存在，也不知道r-次总和和欧拉三角形之间的关系。。。 ;-).
我没有Maple和/或Mathematica（谈到技术），所以我使用的是免费的WolframAlpha（移民选择差；-））。
我退休了（几天前刚满65岁），住在马萨诸塞州布鲁克林（波士顿旁边），你可以在LinkedIn上找到我，了解我在嵌入式软件领域的痛苦；-）。
但是，说真的，我对你在正在讨论的领域的知识印象深刻。
如果有一天天气好（晴朗与否），你能浏览我的维基页面，与我分享你对我的小想法的见解，我将非常高兴。如果能由此产生任何合作和/或协同作用，我将非常高兴。
干杯，亚历克斯
另外，我注意到你在我写诗的时候弹奏乐器——这对协同作用有好处还是坏处？ ;-)
