本网站由以下捐款支持:OEIS基金会.

用户对话:Gary Detlefs

来自OeisWiki
跳转到:航行,搜索

你好,加里

请参阅的(草稿)版本中的我的评论和讨论笔记A024166号.

你看到我在那里和其他OEIS序列中的公式了吗(我在链接中提供了列表),这些公式已经涵盖了正方形和立方体(但不是由于你而产生的四度)?

另请参阅我的OEIS维基页面的“k倍嵌套整数幂和”部分,它是

https://oeis.org/wiki/用户:Alexander_R._Povolotsky

http://math.stackexchange.com/questions/128763/k-fold-nested-sum-of-integer-powers

两个问题:

1) 这是如何联系和/或从Faulhaber公式推导出来的?

2) 有人把这个公式推广到任何程度吗?也就是说,如何将其推广到m倍的公式中第m次整数幂的嵌套和?

顺颂商祺,亚历克斯

你好,亚历克斯,

我认为通过普通电子邮件比通过维基页面更容易沟通,但我无法通过这封电子邮件。此外,我还可以附上格式更好的word文档。我看过你的维基页面,发现你对数学有一些独特的见解。数学的世界如此广阔,有那么多人比我们聪明得多。就权力总和这一主题而言,人们可以在一本小书中只引用所有关于这一主题的高级论文。。远远超过我的头。尽管如此,探索还是很有趣的,正如约翰·列侬所说。。我们都在发光。有可能在OEIS上创建一个Wiki页面,然后从给定的序列链接到它吗?如果是这样的话,将一页链接放在一起,指向与幂和、嵌套幂和、交替幂和相关的所有序列。。等。OEIS中有一个索引,但它非常简单。我一直在研究素性标准,这就是导致我重新审视幂和主题的原因。幂和和粗略数之间有一个有趣的关系。。没有素数因子小于k的数。例如,只有当n是素数或不能被{2,3,5}整除,n>5时,四次幂和才可以被n整除。类似地,只有当n是素数不能被{2,3,5,7,13}整除,n>7时,12次幂之和才能被n整除。我做了一张图表,列出了从4到40的所有偶数幂和。不管怎样,我只是喜欢看很多主题并收集公式。如果你对这个话题感兴趣的话,我已经附上了一个斐波那契公式的索引。(无法发送此消息)

顺颂商祺加里·德特利夫斯

(亚历山大·波沃洛茨基)亚历山大·波沃洛茨基2013年3月4日22:09(UTC)

=========================================

谢谢你,亚历克斯。。。我钦佩你的技术技能。我的几乎为零。。我甚至无法在云端发布文档。我多次重温了幂和这个话题,最终发现了我认为是数学中最保守的秘密之一。既然你提到了法尔豪伯,我想你一定很熟悉克努特关于他的论文。从某种意义上说,本文确实给出了任意幂的r次求和的一般公式。我一直在看的另一个网站是http://www.noticingnumbers.net/。不知怎的,我发现有一个涉及欧拉三角形的双重求和公式,我在A008292号

欧拉三角形是第r次连续求和(k^j,k=1..n)公式的一个元素,它看起来是和(T(j,k-1)*二项式(j-k+n+r,j+r),k=1.n)。[来自加里·德特利夫斯,2001年11月11日]

不要要求我证明,但它是有效的。公式本身只是以不同的方式陈述递归,但。。枫叶以代数形式表达它的能力令人惊叹。我可以提交一个公式,计算任意幂的第r次连续求和,但它们很快就会变大。说到技术,让我们看看我是否可以粘贴一些Maple输出。

Powesum模板。。。基本公式。>

> >欧拉:=proc(n,k)选项运算符,箭头;和((-1)^j*(k-j+1)^n*二项式(n+1,j),j=0。。k+1)结束进程;

k+1(千分之一)-----                                      \                                         )j个

(n,k)->/(-1)(k-j+1)二项式(n+1,j)

-----                                      j=0

>s2:=proc(n,j,r)选项运算符,箭头;总和(欧拉(j,k-1)*二项式(j-k+n+r,j+r),k=1。。n) 终末程序;

n个-----                                                  \                                                     )

(n,j,r)->/欧拉(j,k-1)二项式(j-k+n+r,j+r)

-----                                                  k=1

>seq(s2(n,3,2),n=1。。20);1, 10, 46, 146, 371, 812, 1596, 2892, 4917, 7942, 12298, 18382, 26663, 37688,

52088, 70584, 93993, 123234, 159334, 203434

> >> >对于n到5个do打印(简化(s2(x,n,r))结束do;

伽马(1+x+r)---------------------γ(2+r)γ(x)(r+2x)γ(1+x+r)--------------------------γ(3+r)γ(x)/2 2 \\r+6 x r-r+6 x/伽马(1+x+r)----------------------------------------γ(4+r)γ(x)/ 2                      2\                 (r+2 x)\r+12 x r-5 r+12 x/GAMMA(1+x+r)------------------------------------------------------γ(5+r)γ(x)1           // 4         3       3         2       2        2  2---------------------\\r+30 x r-16 r-90 x r+11 r+150 x rγ(6+r)γ(x)
3         2                4\                 \+240 x r-90 x r+4 r+120 x/GAMMA(1+x+r)/

>

好吧,这种做法奏效了。回忆一下伽马(r+k)=(r+k-1)!如果你有枫叶,我可以给你寄一张工作表。

虽然关于这些公式,我没有什么可归因于我的,但有一点我多年前在有关这个主题的文献中从未见过。如果我们将n^k的第r次折叠求和表示为[n,k,r],那么[n,k,r]=n*[n,k-1,r]-r*[n-1,k-1。。。再说一遍,不要让我证明这一点,但我知道这是真的。我记得八月的一天,我在密歇根湖一处荒凉的海滩上度过了一个日出日落的日子,倾泻在三维阵列的打印输出上。我记得曾看过有关主题的二叉树数据结构。。。。令人困惑的

总之,现在就这些了。。。很高兴见到你。我看到你住在马萨诸塞州。

加里

=======================

同样,加里,很高兴与你交流。那纯粹是我的运气(;-),你花了一些时间在以下网站上发表你的欧拉三角评论:A008292号2001年11月11日,直到现在才开始发布r-次求和公式-这次延迟确实让我有机会坚持使用我自己的OEIS几个公式,甚至不知道您的评论是否存在,也不知道r-次总和和欧拉三角形之间的关系。。。;-)。

我没有Maple和/或Mathematica(谈到技术),所以我使用的是免费的WolframAlpha(移民选择差;-))。

我退休了(几天前刚满65岁),住在马萨诸塞州布鲁克林(波士顿旁边),你可以在LinkedIn上找到我,了解我在嵌入式软件领域的痛苦;-)。

但是,认真地说,我对你在所讨论领域的知识印象深刻。

如果有一天天气好(不管是否晴朗),你能浏览我的维基页面,与我分享你对我小想法的见解,我会很高兴。如果能由此产生任何合作和/或协同作用,我将非常高兴。

干杯,亚历克斯

另外,我注意到你在我写诗的时候弹奏乐器——这对协同作用有好处还是坏处? ;-)