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大量组合解释属于加泰罗尼亚数字已知。理查德·斯坦利列出了66个不同的枚举组合数学,第2卷,[1]他的车里还有几十辆加泰罗尼亚补遗。[2]斯坦利要求读者证明模棱两可[3]任何两种不同的解释和通过展示简单、优雅双射 并在他的加泰罗尼亚语和相关数字练习的解决方案。[4]
加泰罗尼亚数字的组合解释
下表显示了解释Dyck路径(斯坦利的我),非交叉握手(斯坦利的n个),平面通用树(斯坦利的e(电子)),非交叉圆形隔墙(斯坦利的qq),非交叉Murasaki图(斯坦利的rr(无线电频率)),平面二叉树(斯坦利的(c(c))和(d日))还有欧拉多边形三角形(斯坦利的一)以一种如此自然的方式令人惊讶的事发生在不同的解释之间。[5]
要获得更完整的列表(大小不限=7),并有一些其他解释(此处尚未显示)请参阅:A014486/A014486.pdf.
加泰罗尼亚构造尺寸0、1、2和3的解释(i)、(n)、(e)、(qq)、(rr)、(c/d)和(a)。
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Dyck单词
Dyck单词是来自戴克语,这是一种由两个字符组成的字母表中的平衡字符串组成的语言。
平衡括号通过将字母表选择为{(,)},并使用字符“(”和“)”获得。
空的Dyck单词
空的Dyck单词(即空字符串)由数字0表示(实际上是一个前导的0,用于零,因此它具有可见的表示形式)。
戴克路径(斯坦利的我)
(...)
非交叉握手(斯坦利的n个)
(...)
刨除普通树木(斯坦利的e(电子))
(...)
非交叉圆形隔墙(Stanley’sqq)
(...)
非交叉Murasaki图(Stanley’srr(无线电频率))
(...)
平面二叉树(Stanley’s(c(c))和(d日))
对于平面二叉树与Dyck单词和括号之间的自然双射,考虑以下情况“蠕虫以深度优先、从左到右的方式爬上二叉树”(即预序遍历),插图改编自[6]在这里,虫子吃掉了所有的1和0标记二叉树的内部节点和叶节点(分别),最后一个除外,标记为,将最终输出二进制字符串,是的成员完全平衡序列或Dyck语言。
欧拉多边形三角剖分(Stanley’s一)
(...)
加泰罗尼亚数组合解释的自同构
只要找到定义明确的双射在任何此类解释之间还有一些著名的,比如括号或平面二叉树由编码A014486号(直接或通过一系列其他此类项目),任何旋转,反思或其他对称运算这些解释可以编码为整数序列,如中所述加泰罗尼亚自同构.
序列
这个空Dyck单词,一个非常重要的词戴克语,包含在以下序列中。
戴克语(整套Dyck单词,第一个术语是空Dyck单词)(请参见A063171号注释)
- {, (), ()(), (()), ()()(), ()(()), (())(), (()()), ((())), ()()()(), ()()(()), ()(())(), ()(()()), ()((())), (())()(), (())(()), (()())(), (()()()), (()(())), ((()))(), ((())()), ((()())), (((()))), ()()()()(), ()()()(()), ()()(())(), ()()(()()), ()()((())), ()(())()(), ()(())(()), ()(()())(), ()(()()()), ()(()(())), ()((()))(), ()((())()), ()((()())), ()(((()))), (())()()(), (())()(()), (())(())(), (())(()()), (())((())), (()())()(), (()())(()), (()()())(), (()()()()), (()()(())), (()(()))(), (()(())()), (()(()())), (()((()))), ((()))()(), ((()))(()), ((())())(), ((())()()), ((())(())), ((()()))(), ((()())()), ((()()())), ((()(()))), (((())))(), (((()))()), (((())())), (((()()))), ((((())))), ...}
Dyck单词按升序解释为二进制数。(如果用“(”替换“1”,用“)”替换“0”,则会产生格式良好的括号表达式,请参见A063171号.)
- {0, 10, 1010, 1100, 101010, 101100, 110010, 110100, 111000, 10101010, 10101100, 10110010, 10110100, 10111000, 11001010, 11001100, 11010010, 11010100, 11011000, 11100010, 11100100, 11101000, 11110000, 1010101010, 1010101100, ...}
二进制文件Dyck单词(A063171号)十进制表示。(请参见A014486号.)
- {0, 2, 10, 12, 42, 44, 50, 52, 56, 170, 172, 178, 180, 184, 202, 204, 210, 212, 216, 226, 228, 232, 240, 682, 684, 690, 692, 696, 714, 716, 722, 724, 728, 738, 740, 744, 752, 810, 812, 818, 820, 824, 842, 844, 850, 852, 856, 866, 868, 872, 880, ...}
加泰罗尼亚数字:给出的平衡括号数“(”和“)”(分别用“1”和“0”表示)(参见。A000108美元)
- {1、1、2、5、14、42、132、429、1430、4862、16796、58786、208012、742900、2674440、9694845、35357670、129644790、477638700、1767263190、6564120420、24466267020…}=
- {#{ { } }, #{ {10} }, #{ {1010}, {1100} }, #{ {101010}, {101100}, {110010}, {110100}, {111000} }, #{ {10101010}, {10101100}, {10110010}, {10110100}, {10111000}, {11001010}, {11001100}, {11010010}, {11010100}, {11011000}, {11100010}, {11100100}, {11101000}, {11110000} }, ...}
另请参见
笔记