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球面三角


球面三角

让一个球面三角形绘制在半径的R(右),居中于一点O=(0,0,0),带有顶点A类,B类、和C类.从球体中心到顶点的向量因此由a=办公自动化^->,b=OB^->、和c=OC^->现在有角的侧面的长度三角形(弧度)是a^'=∠BOC,b^'=∠COA、和c ^’=∠AOB,以及实际的边的弧长a=拉^’,b=卢比,c=Rc^'.明确地,

a·b=R^2cos^'=R^2co(c/R)
(1)
a·c=R^2cosb^'=R^2co(b/R)
(2)
b·c=R^2cosa^'=R^2co(应收)。
(3)

现在利用A类,B类,C类表示顶点本身和球面三角形的在这些顶点,以便二面角之间飞机 AOB公司AOC公司已写入A类,的二面角之间飞机 中国银行AOB公司已写入B类,以及二面角之间飞机 中国银行AOC公司已写入C类(这些角度有时被表示为阿尔法,β,伽马射线例如,盖勒特等。1989)

考虑一下二面角 A类在平面之间AOB公司AOC公司,可以使用产品平面的法线。假设R=1,法线由交叉产品向量到顶点的距离,所以

(a ^^xb ^^)·(a ^ xc ^)=(|a^^||b^^|sinc)(|a*^||c*^|sinb)cosA
(4)
=辛布辛科萨。
(5)

然而,使用众所周知的向量恒等式可以

(a ^^xb ^^)·(a ^ xc ^)=a^^·[b^^x(a^^xc^^)]
(6)
=a^^·[a^^^(b^^•c^^)-c^^
(7)
=(b^^·c^^)-(a^^·c^)(a^·b^)
(8)
=科萨·科斯科布。
(9)

由于这两个表达式必须相等,我们得到了恒等式(及其两个类似的公式)

科萨=cosbcos+sinbsinccosA公司
(10)
cosb公司=coscosa+sincsinacosB
(11)
中国远洋运输公司=cosacosb+sinasinbcosC,
(12)

称为边的余弦规则(Smart 1960,第7-8页;Gellert等。1989年,第264页;Zwillinger 1995,第469页)。

身份

新浪银行=(|(a ^^ xb ^^)x(a ^ xc ^)|)/(|a ^ xb ^^|a ^^xc ^^|)
(13)
=-(|a^^[b^^,a^^和c^^]+b^^[a^^^、a^^,c^^]|)/(sinbsinc)
(14)
=([a^^、b^^和c^^])/(sinbsinc),
(15)

哪里[甲、乙、丙]标量三乘积,给出

 (新浪a)/(新浪)=([a^^、b^^和c^^])/(sinasinbinc),
(16)

因此正弦定律可以是书面的

 (sinA)/(sinA)=(sinB)/(sinB)=(正弦C)/(正弦c)=(6Vol(OABC))/(正弦波正弦c)
(17)

(Smart 1960,第9-10页;盖勒特等。1989年,第265页;Zwillinger 1995,第469页),其中数量(OABC)体积四面体.

The analogs of the余弦定律对于角度球面三角形由提供

cosA公司=-cosBcosC+sinBsinCcosa
(18)
cosB公司=-cosCcosA+sinCsinAcosb
(19)
中国远洋运输公司=-cosAcosB+sinAsinBcosc
(20)

(盖勒特等。1989年,第265页;Zwillinger 1995,第470页)。

最后,还有类似于法律切线,

(褐色[1/2(B-C)])/(棕色[1/2(B+C)]=(tan[1/2(b-c)])/(tan[1/2(b+c)]
(21)
(褐色[1/2(C-A)])/(棕色[1/2(C+A)]=(棕褐色[1/2(c-a)])/(棕褐色=1/2(c+a)]
(22)
(褐色[1/2(A-B)])/(棕色[1/2(A+B)]=(tan[1/2(a-b)])/(tan[1/2(a+b)]
(23)

(拜尔1987;盖勒特等。1989; Zwillinger 1995,第470页)。

其他重要身份由

 cosA=cscbcscc(cosA-cosbcosc),
(24)

(Smart 1960,第8页),

 sinacosB=cosbsinc-sinbcosccosA
(25)

(Smart 1960,第10页),以及

 cosacosC=成本成本成本
(26)

(Smart 1960,第12页)。

 s=1/2(a+b+c)
(27)

是半周长,那么正弦的半角公式可以写成

正弦(1/2A)=sqrt((sin(s-b)sin(s-c))/(sinbsinc))
(28)
罪(1/2B)=sqrt((sin(s-a)sin(s-c))/(sinasinc))
(29)
罪(1/2C)=sqrt((正弦(s-a)正弦(s-b))/(正弦nb)),
(30)

对于余弦可以写为

cos(1/2A)=sqrt((sinsin(s-a))/(sinbsinc))
(31)
cos(1/2B)=sqrt((sinsin(s-b))/(sinasinc))
(32)
cos(1/2℃)=sqrt((sinsin(s-c))/(sinasinb)),
(33)

和切线可以写成

棕褐色(1/2A)=sqrt((sin(s-b)sin(s-c))/(sinssin(s-a)))=k/(sin
(34)
棕褐色(1/2B)=sqrt((正弦(s-a)正弦(s-c))/(正弦(s-b)))=k/(正弦
(35)
棕褐色(1/2C)=sqrt((正弦(s-a)正弦(s-b))/(正弦(s-c)))=k/(正弦,
(36)
(37)

哪里

 k^2=(sin(s-a)sin(s-b)sin
(38)

(《聪明1960》,第8-9页;盖勒特等。1989年,第265页;Zwillinger 1995年,第470页)。

 S=1/2(A+B+C)
(39)

是半角之和,则半边公式为

棕褐色(1/2a)=科科斯(S-A)
(40)
棕褐色(1/2b)=科科斯(S-B)
(41)
棕褐色(1/2厘米)=Kcos(S-C),
(42)

哪里

 K^2=-(cosS)/(cos(S-A)cos(S-B)cos
(43)

(盖勒特等。1989年,第265页;Zwillinger 1995,第470页)。

这个哈弗辛侧面公式,其中

 havx=1/2(1-cosx)=sin^2(1/2x),
(44)

由提供

 hava=hav(b-c)+sinbsinchavA
(45)

(Smart 1960,第18-19页;Zwillinger 1995,第471页),以及哈弗辛角度公式如下所示

哈瓦=(sin(s-b)sin(s-c))/(sinbsinc)
(46)
=(hava-hav(b-c))/(sinbsinc)
(47)
=hav[pi-(B+C)]+sinBsinChava
(48)

(Zwillinger 1995年,第471页)。

高斯公式(也称为德拉姆布雷类比)

(sin[1/2(a-b)])/(sin(1/2c))=(sin[1/2(A-B)])/(cos(1/2C))
(49)
(sin[1/2(a+b)])/(sin(1/2c))=(cos[1/2(A-B)])/(sin(1/2C))
(50)
(cos[1/2(a-b)])/(cos(1/2c))=(sin[1/2(A+B)])/(cos(1/2C))
(51)
(cos[1/2(a+b)])/(cos(1/2c))=(cos[1/2(A+B)])/(sin(1/2C))
(52)

(Smart 1960,第22页;Zwillinger 1995,第470页)。

纳皮尔类比

(sin[1/2(A-B)])/(sin[1/2[A+B)]=(棕褐色[1/2(a-b)])/(棕褐色(1/2c))
(53)
(cos[1/2(A-B)])/(cos[1](A+B)]=(棕褐色[1/2(a+b)])/(棕褐色(1/2c))
(54)
(sin[1/2(a-b)])/(sin[1/2[a+b)]=(棕褐色[1/2(A-B)])/(胶辊(1/2C))
(55)
(cos[1/2(a-b)])/(cos[1/2(a+b)]=(棕褐色[1/2(A+B)])/(胶辊(1/2C))
(56)

(拜尔1987;盖勒特等。1989年,第266页;Zwillinger,1995年,第471页)。


另请参见

角度缺陷,笛卡尔总角缺陷,高斯公式,Girard的球面余量公式,余弦定律,法律正弦,切线定律,L'Huilier的定理,纳皮尔类比,固体角度,球形过剩,球形的几何图形,球形多边形,球形的三角形

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工具书类

Beyer,W.H。CRC标准数学表,第28版。佛罗里达州博卡拉顿:CRC出版社,第131页和147-1501987年。J.M.丹比。基本原理天体力学,第二版,修订版。弗吉尼亚州里士满:威尔曼·贝尔,1988年。盖勒特,W。;哥特瓦尔德,S。;海尔威奇,M。;Kästner,H。;和Künstner,H.(编辑)。“球形三角学。“§12英寸越南卢比简明数学百科全书,第二版。纽约:Van Nostrand Reinhold,第261-2821989页。R·M·格林。球形的天文学。纽约:剑桥大学出版社,1985年。聪明,宽米。文本-书籍球面天文学,第6版。英国剑桥:剑桥大学出版社,1960年。Zwillinger,D.(编辑)。“球面几何和三角。”§6.4英寸CRC公司标准数学表和公式。佛罗里达州博卡拉顿:CRC出版社,第468-471页,1995

参考Wolfram | Alpha

球面三角

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“球面三角。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/SphericalTrigonometry.html

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