平行假设

给定任何一条直线和一个不在其上的点，“存在且只有一条直线通过”该点，并且永远不会相交第一条线，无论延伸多远。此声明等效到的五分之一欧几里德假设，其中欧几里德本人在元素.几个世纪以来，许多数学家认为这种说法不是一个真正的公设，而是一个可以从欧几里得的假设（仅使用假设即可导出的几何部分1-4被称为绝对几何学.)

多年来，许多声称的平行假设的证据被发表。然而，没有一个是正确的，包括28个“证据”G.S。克吕格尔在1763年的论文中进行了分析（霍夫施塔特1989）。所有这些努力的主要动机是，欧几里德的平行假设似乎不像其他公理那样“直观”，但它需要证明重要的结果。约翰·沃利斯（John Wallis）提出了一个新的公理，该公理暗示了平行假设，而且直觉上也很有吸引力。他的“公理”指出，任何三角形都可以在不改变其比例或角度的情况下变大或变小（Greenberg 1994，第152-153页）。然而，沃利斯的公理从未流行起来。

1823年，Janos Bolyai和Lobachevsky独立意识到，“非欧几里德几何“可以在其中创建平行假设无法保持。（高斯还发现但抑制了非欧几里德几何的存在。）

如上所述，平行假设描述了现在称为欧几里德几何然而，如果短语“存在且只有一条直线通过”替换为“存在”没有经过的线，“或”存在至少两条经过的线“公设描述了同样有效（尽管不那么直观）的已知几何类型作为椭圆形和双曲线的几何图形分别是。

平行假设等价于等距离假设,公平公理,普罗克卢斯公理，的三角形假设、和勾股定理。还有一个单间平行公理希尔伯特公理这是等效的欧几里德的平行假设。

S.Brodie已经证明平行公设与毕达哥拉斯语定理.