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格林定理

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格林定理是一个向量恒等式，它等价于旋度定理在中飞机。超过一个区域D类在有边界的平面上部分D，格林定理状态

☑_（partialD）P（x，y）dx+Q（x，y）dy=intint_（D）（（partial Q）/（partials x）-（partial/P）/（partialy））dxdy，
(1)

其中左侧是线积分右边是一个曲面积分。这也可以是以向量形式紧凑地写为

ψ_（部分D）F·ds=初始_（D）（del xF）·da。
(2)

如果区域D类四处旅行时在左边部分D，然后地区属于D类可以使用优雅的公式计算

A=1/2¼_（局部D）xdy-ydx，
(3)

在一个地区的面积和线积分围绕其边界。对于参数化指定为（x（t），y（t））对于t在[t0，t1]中，方程式(三)成为

A=1/2int_（t_0）^（t_1）（xy^'-yx^'）dt，
（4）

它提供了签署曲线包围的区域。

上述对称形式对应于格林定理P（x，y）=-y/2和Q（x，y）=x/2，导致

一个=初始_（D）dxdy
(5)
=初始_（D）（（部分Q）/（部分x）-（部分P）/（局部））dxdy
(6)
=¼_（局部D）（-y/2）dx+（x/2）dy
(7)
=1/2英寸_（t_0）^（t_1）（-yx^'dt+xy^'dt）
(8)
=1/2英寸_（t0）^（t1）（xy^'-yx^'）dt。
(9)

然而，我们也可以自由选择其他价值观P（P）和问，包括P（x，y）=0和Q（x，y）=x，给出“更简单”的形式

A=int_（t_0）^（t_1）xy^'dt，
(10)

和P（x，y）=y和Q（x，y）=0,给

A=-int_（t_0）^（t_1）yx^'dt。
（11）

可以使用类似的程序计算关于x个-轴使用P=-y^2/2和Q=0作为

M_x=intentydxdy=-1/2Ωy^2dx=-1/2int_（t_0）^（t_1）y^2x^'dt
(12)

关于年-轴使用P=0和Q=x ^2/2作为

M_y=初始xdxdy=1/2Ωx ^2dx=1/2 int_（t_0）^（t_1）x ^2y^'dt，
(13)

其中几何质心 x^_=（x^_，y^_）由提供x^_=M_y/A和y^_=M_x/A.

最后面积惯性矩可以使用计算P=-y^3/3和Q=0作为

I_（xx）=初始值^2dxdy=-1/3Ωy^3dx=-1/3int_（t_0）^（t1）y^3x^'dt，
(14)

使用P=-xy^2/2和Q=0作为

I_（xy）=初始xydxdy=-1/2Ωxy^2dx=-1/2int_（t_0）^（t_1）y^2xx^'dt，
(15)

和使用P=0和Q=x^3/3作为

I_（yy）=初始x^2dxdy=1/3∮x^3dy=1/3初始_（t_0）^（t_1）x^3y^'dt。
(16)

另请参见

面积,面积惯性矩,卷曲定理,分歧定理,几何质心,多变量微积分,斯托克斯定理

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工具书类

Arfken，G.《高斯定理》§1.11数学物理学家方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第57-61页，1985Kaplan，W.“格林定理”§5.5高级微积分，第4版。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，第286-291页，1991年。

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“格林定理。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/GreensTheorem.html

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