直线积分

a的线积分矢量场 在曲线上由定义

(1)

哪里表示点积。在笛卡尔坐标系中可以写线积分

(2)

哪里

(3)

对于 复杂的和中的路径复杂的飞机参数化者,

(4)

庞加莱定理声明如果在一个简单相连的社区一个点的然后在这个街区，是梯度的标量领域 ,

(5)

对于,哪里是渐变操作符。因此梯度定理给予

（6）

对于任何路径完全位于，开始于结束于.

这意味着如果（即。，是一个无旋场在某些地区），然后线积分在该区域是路径无关的。如果需要，可以使用笛卡尔路径因此可以在起点和终点之间进行选择

(7)

如果（即。，是一个无分歧的领域，又名。螺线管场)，然后在那里存在一个矢量场 这样的话

(8)

哪里由梯度场唯一确定（可以选择梯度场，以便).