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子集和问题


有两个问题通常称为子集和问题。

第一个问题(“给定和问题”)是查找整数列表的哪个子集具有给定和的问题,即整数关系关系系数的问题a_i为0或1。

(“同和问题”)是求一组n个具有大集合的不同正实数尽可能使用相同总和的子集(Proctor 1982)。

斯坦利(Stanley,1980)使用代数几何工具解决了相同的求和问题,给出了以下答案n个第一个数字n个正整数:{1,2,…,n}Proctor(1982)给出了第一个基本证明这一结果。的最大子集数{1,2,…,n}拥有相同的金额n=1, 2, ... 是1、1、2、2、3、5、8、14、23。。。(组织环境信息系统A025591号).类似地n=1, 2, ... 是2、4、7、11、16、22、29、37、46、56。。。(组织环境信息系统A000124号). 例如,对于n=3,的子集{1,2,3}

摘要集=0
(1)
1=1
(2)
2=2
(3)
3=3
(4)
1+2=3
(5)
1+3=4
(6)
2+3=5
(7)
1+2+3=6,
(8)

所以最常出现的和是3,出现两次,不同的和的数目是7。

给定和问题是NP完全对于较小的情况,可以使用生成函数.考虑方法的数量c(m,s)选择米由于米给定整数{a_1,…,a_M}它们的总和等于秒,并定义生成函数

 G(x,y)=产品_(k=1)^M(1+x^(a_k)y)。
(9)

在权力扩张后年,这变成

 G(x,y)=总和_(m=1)^MG_m(x)y^m。
(10)

但由于指数定律 x^mx^n=x^(m+n)G_m(x)正是我们想要的生成功能

 G_m(x)=总和_(s)c_(m,s)x^s。
(11)

例如,考虑拣选问题米集合中的对象{1,2,3,4,5}.生成函数G(x,y)

 G(x,y)=y^5x^(15)++1。
(12)

例如,选择m=3对象具有生成功能

G_3(x)=总和c(3,s)x^s
(13)
=x(12)+x(11)+2x(10)+2x^9+2x^8+x^7+x^6,
(14)

因此,从整数1到5中选取三个整数并使其和为s=1211, ..., 6是系数c(3,s)属于G_3(x)即1、1、2、2、1和1。这些解决方案是总结如下表所示。

秒解决
6(1、2、3)
7(1,2, 4)
8(1, 2, 5), (1,3, 4)
9(1, 3, 5), (2,3, 4)
10(1、4、5),(2, 3, 5)
11(2, 4,5)
12(3, 4, 5)

Pólya(1956年)提出了一个很好的明确例子,提出了用美元进行兑换的方法(使用便士、五分镍币、一角硬币、四分之一硬币、,和半美元)。292的答案作为x ^(100)系列中的术语

 sum_(n=0)^inftyP_kx^k=1/((1-x)(1-x^5)(1-x^(10))(1-x^(25))(1-x^(50)))
(15)

(Borwein和Bailey,2003年,第21页)。


另请参见

丰富的数量网格着色问题整数关系背包问题晶格缩减邮费印章问题伪完美数Stöhr序列奇怪的编号

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

Borwein,J.和Bailey,D。实验数学:21世纪的合理推理。马萨诸塞州韦尔斯利:AK Peters,第22-24页,2003年。Coster,M.J。;拉马奇亚,学士。;奥德利兹科,A.M。;和Schnorr,C.P。“改进的低密度子集求和算法。“输入密码学进展:91年《欧洲密码》(Brighton,1999)(编辑D.W.Davis)。纽约:Springer-Verlag,第54-67页,1992年。成本,医学博士。;Joux,A。;拉马奇亚,学士。;奥德利兹科,A.M。;施诺尔,C.P。;和Stern,J.“改进的低密度子集和算法”计算。复杂。 2, 111-128, 1992.H·R·弗格森。第页。D.H.贝利。多项式时间、数字稳定的整数关系算法RNR技术报告。RNR-91-0321992年7月14日。拉加里亚斯,L.C。和奥德利兹科,A.M。“解决低密度子集和问题。”J。ACM公司 32, 229-246, 1985.Pólya,G.“关于图片写作”阿默尔。数学。每月 63, 689-697, 1956.普罗克特,R.A。“用线性代数解决两个困难的组合问题。”阿默尔。数学。每月 89, 721-734, 1982.施诺尔,C.P。格基约简:改进的实用算法和解决子集和问题。“输入基本原理《计算理论:第八届国际会议论文集》,1991年,德国,1991年9月9日至13日。柏林:Springer-Verlag,第68-85页,1991年。斯隆,新泽西州。答:。序列A000124号/M1041型A025591号在线百科全书整数序列的。"斯坦利,R.P。“Weyl GroupHard-Lefschetz定理和Sperner性质。"SIAM J.阿尔及利亚。光盘。数学。 1168-184, 1980.

参考Wolfram | Alpha

子集和问题

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“子集和问题。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/SubsetSumProblem.html网站

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