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特征向量

特征向量是一组特殊的向量，与线性方程组（即矩阵方程)有时也称为特征向量、固有向量或潜在向量向量（Marcus和Minc，1988年，第144页）。

确定系统的特征向量和特征值在物理和工程中是极其重要的，它等价于矩阵对角化并出现在稳定性分析等常见应用中，旋转物体的物理学和振动系统的小振荡只有少数。每个特征向量与相应的所谓特征值.从数学上讲，需要区分两种不同的特征向量：左特征向量和正确的特征向量然而，对于物理和工程中的许多问题，这就足够了只考虑右特征向量。术语“特征向量”在没有因此，此类应用中的限定可以理解为指正确的特征向量.

分解平方矩阵 一个到特征值和特征向量的转换在本书中称为特征分解以及这个事实只要由特征向量组成的矩阵，分解总是可能的属于一个是广场被称为特征分解定理.

定义一个右特征向量作为一个列向量 X_R（X _ R）令人满意的

AX_R=λRX_R，
（1）

哪里一个是一个矩阵，所以

（A-lambda_RI）X_R=0，
(2)

这意味着权利本征值必须为零行列式即。，

det（A-lambda_RI）=0。
(3)

类似地，定义一个左特征向量作为一个行向量 X_L公司令人满意的

X_LA=λ_LX_L。
(4)

采取转置每侧的

（X_LA）^（T）=λ_LX_L^（T），
(5)

可以改写为

A（T）X_L^（T）=lambda_LX_L^（T）。
(6)

重新排列以获得

（A^（T）-λ_LI）X_L^（T）=0，
(7)

这意味着

det（A^（T）-lambda_LI）=0。
(8)

重写给出

0=det（A^（T）-λ_LI）=det（A（T）-λ_LI（T））
(9)
=det（A-lambda_LI）^（T）
(10)
=det（A-lambda_LI），
(11)

身份的最后一步

det（A）=det（A^（T））。
(12)

等式方程(◇) 和(11)，对于任意值都等于0一个和X（X），因此要求λ_R=λ_L=λ，即左右本征值是等价的，一个对特征向量.

让X_R（X _ R）成为矩阵由右特征向量列和X_L（_L）成为矩阵由行组成左特征向量。让

D=[lambda_1…0；|…|；0…lambda_n]。
(13)

然后

轴（_R）=X轴_RD
(14)
X_拉=DX_L（_L）
(15)

和

X轴_R=X_LX_RD（X _ LX _ RD）
（16）
X轴_R=DX_LX_R，
(17)

所以

X_LX_RD=DX_LX_R。
(18)

但这个等式是表单的

CD=直流
(19)

哪里D类是一个对角矩阵，所以这一定是真的C=X_LX_R也是对角线。特别地，如果一个是一个对称的矩阵，那么左特征向量和右特征向量就是彼此的转置,如果一个是一个自伴随矩阵（即，它是爱尔兰人),那么左特征向量和右特征向量是伴随的矩阵。

特征向量可能不等于零矢量特征向量的非零标量倍数与原始特征向量等价。因此，在不损失通用性的情况下，特征向量通常被归一化为单位长度。

虽然n×n矩阵总是有n个特征值，其中一些或全部可能退化，这样的矩阵可能在0和n个线性无关的特征向量。例如，矩阵[1 1; 0 1]只有一个特征向量(1,0).

特征向量可以在Wolfram语言使用特征向量[矩阵].此命令始终返回长度列表n个，所以任何不线性独立的特征向量都是作为零向量返回。特征向量和特征值可以使用命令特征系统[矩阵].

给定一个3×3 矩阵 一个带特征向量x_1,x2个,和x_3个和相应的本征值 λ_1,λ_2、和λ_3然后是一个武断的矢量 年可以写入

y=b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3。
(20)

应用矩阵 一个,

是的=b_1Ax_1+b_2Ax_2+b_3Ax_3
(21)
=λ_1（b_1x_1+（λ_2）/，
(22)

所以

A^ny=λ_1^n[b_1x_1+（（λ_2）/（λ_1））^nb_2x_2+（（λ_3）/（λ_1））^nb_3x_3]。
(23)

如果λ_1>λ_2，λ_3、和b_1=0，因此可以得出以下结论

lim_（n->infty）A^ny=λ_1^nb_1x_1，
(24)

如此反复地将矩阵应用于任意向量，结果令人惊讶与最大特征向量成比例的向量特征值.

另请参见

特徵分解,特征分解定理,特征函数,特征值,左特征向量,矩阵,矩阵对角化,矩阵方程式,右特征向量 在数学世界课堂上探索这个主题

与Wolfram一起探索| Alpha

参考文献

Arfken，G.“特征向量，特征值”，第4.7节数学物理学家方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第229-237页，1985Marcus，M.和Minc，H。介绍线性代数。纽约：多佛，第145页，1988年。按，W.H。；弗兰纳里，B.P。；Teukolsky，美国。；和韦特林。《特征系统》第11章数字的FORTRAN:科学计算的艺术，第二版。英国剑桥：剑桥大学出版社，第449-489页，1992年。

参考Wolfram | Alpha

特征向量

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“特征向量”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Eigenvector.html

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