摘自X射线衍射50年由P.P.Ewald编辑

第三部分

工具

第6章

X射线衍射原理

6.1. 根据W.L.Bragg的X射线反射

考虑一组间距为d的N+1等间距原子平面，以及以斜视角θ落在其上的单色平面X波（图6-1（1））。假设每个原子平面反射入射振幅的很小一部分，足够小，因此在整个晶体中可以忽略此反射对入射振幅的减弱作用。在大多数入射角θ下，从相邻平面反射的波将显示相位差，当所有反射波在离晶体很远的地方汇聚在一起时，这些相位系统增加的波的叠加将导致振幅抵消和光场为零。因此，只有透射波存在。然而，如果所有反射波的相位都在小于一半波长相位差的范围内到达，那么所有反射振幅将在反射方向上共同形成光场，而不会有任何实际的贡献抵消。如果所有波浪都到达相同的相位，然后波的完全再增强发生在N+1倍于单个反射波的振幅。

图6-1（1）。N个原子平面上的布拉格反射。

现在，顶波和底波的光路差异通过位于入射波和反射波波前两部分之间的重画路径显示出来。其长度为2Nd-sinθ。相邻平面上反射之间的路径差为2d sinθ。如果这等于波长λ的整数n，那么整个晶体的相位差为零。因此，对于角度θ，可以获得反射波的最大振幅_n个这样的话

二维正弦θ_n个=nλ。    (1)

这个“布拉格方程”决定了角度θ_n个其中第一、第二、第三。出现阶反射，对于n=1、2、3。波长越大，同一平面上反射的掠入射角越大；间距越大，给定波长的掠射角越小。如果λ已知且θ_n个然后测量n/d的值，如果可以找到顺序，则确定反射面集的间距值。通过将X射线光谱仪以这种方式获得的各种反射面上的信息汇集在一起，进行了第一次晶体结构测定。

当入射角与布拉格角略有不同时，相邻平面的反射之间会产生相位差，反射波的再增强变得不太完美。如果整个晶体的最大相位差对应于整个波长路径差，或者实际上对应于它的任何倍数，例如sλ，其中s是一个整数，则它们的影响将抵消到光场零。对于任何反射的基本波，都会有一个相反相位的叠加。反射曲线的这些“次级零点”出现的角度条件是

2Nd-sinθ_{n、 秒}=（Nn+s）λ，（2）

以及秒布拉格角θ的零点_n个由提供

二维正弦θ_{n、 秒}-二维正弦θ_n个=（s/N）λ

或者，由于角度差通常很小，这可以近似为

θ_{n、 秒}- θ_n个= Δθ_{n、 秒}=tanθ_n个·（序号）。    (3)

如果我们将反射振幅绘制为入射角和反射角与布拉格角之差的函数，φ=θ-θ_n个，每个布拉格角被反射振幅的零点和通过曲线平方获得的相应强度零点包围。对于s=±1，主或零级最大值位于零之间，因此宽度为（2 tanθ_n个)/N。

图6-1（2）。布拉格角附近一组N个原子平面反射的波的振幅和强度曲线。

布拉格反射的有限角宽度是晶体厚度限制为Nd的结果。晶体越薄，主极大值的角度范围越宽，作为光谱中区分相邻波长的光学仪器，晶体的分辨率越低。任何反射顺序的总反射强度与强度曲线最大值下的面积成正比。由于振幅最大值与N+1成正比，或者如果振幅较大，则本质上与N成正比，因此最大强度与N成比例²根据上述主极大值的宽度，总反射强度与2N tanθ成正比_n个这表明，反射强度与晶体的厚度或体积成比例，只有当晶体如此薄，以至于反射几乎以其全部强度离开入射和透射的光线时，这一结果才是正确的。

虽然使用了劳厄衍射，而不是布拉格反射语言，但考虑到晶体的次极大值和有限的分辨率基本上是H·A·洛伦兹引入理论的。主反射最大值角宽度的测量是通过X射线确定粒径的基础，在特定情况下，可通过此类测量确定晶片的厚度。

布拉格公式可以应用于不平行于晶体表面的原子平面上的反射，因为再增强条件不包含这些平面相对于表面的方向。如果考虑晶体介质中X射线的微小一般折射，λ和θ_n个在公式中，必须解释为根据普通折射定律与晶体外部值相关的内部值。由于X射线的折射率与1的差异仅为十万分之一左右，因此只有在非常高精度的测量中才需要考虑这种折射；1919年，m.Siegbahn学派的W.Stenström首次发现了这一点，并在上述精度范围内应用通常的布拉格公式时，对波长或晶格常数进行了修正。

* * *

布拉格理论的极大简化是通过引入和使用反射平面的间距d实现的。从晶体的轴向系统或晶胞开始，确定不同平面的d需要一些几何形状。从表面上看，劳厄的理论似乎更为复杂，但它包含了晶体的内部几何结构，因为它是内置的。此外，布拉格的反射思想也有一些反对意见，在早期阶段，这种反对意见的接受并不明显。虽然密集分布的原子平面定义明确，它们之间的间距很宽，但稀疏分布的平面几乎没有物理真实性。它们的间距必须非常小，才能产生单位体积内固定数量的原子。因此，与布拉格一起考虑，每个平面上的几个原子像镜子一样反射，而与相邻平行平面上更近的原子无关，这似乎有些人为。此外，从衍射角度来看，已知这些平面中任意一个平面中原子的规则排列会产生许多衍射射线（交叉光栅光谱），其中镜面反射仅为一种。其他人怎么样了？

6.2. 根据劳厄的X射线衍射

a.线性光栅

我们首先考虑一排等间距原子，每个原子在“入射”单色平面波的刺激下成为散射球面子波的源。平面波的传播模式由其“波矢量”表示k个; 它的长度为1/λ（λ是给定的波长），其方向是垂直于等相位平面的方向，或者我们可以称之为波前。让描述晶体的三个轴向矢量为一_我（i=1，2，3），那么空间中的任何点都可以用“坐标向量”来描述x个=x₁一₁+x个₂一₂+x个_三一_三，其中x我称为“坐标数”。例如，使用两个向量的“标量积”概念将很方便k·x定义为两个向量长度的乘积（表示为|k个|和|x|分别）乘以正方向之间夹角的余弦：

k·x= |k个|·|x个|·科斯(k个,x个).

现在|x个|科斯(k个,x个)是投影的长度x个关于…的方向k个; 此投影通常称为x个沿着k个显然，所有点的解析部分都是相同的x个位于图6-2（1）的虚线上，在三维中，垂直于k个其中包含虚线。因此，表达式k·x常数可以用来描述波的等相位平面。常数的值是从穿过原点的波前到穿过点的波前的光路长度，以波长表示x个.参数（-νt+k·x)是频率为ν的波沿以下方向传播的特征k个; ν/|k个|=q是相位移动的速度。

图6-2（1）。波矢量和坐标矢量的标量积。

现在考虑由等间距原子在矢量入射波激励下散射的小波k个₁能找到一个方向吗？在这个方向上，它们都以相同的相位到达一个非常遥远的点？我们用索引枚举原子我并从原子中调用向量我给它的邻居我+1“翻译”一.为了充分合作全部的小波找到小波的条件就足够了我和我+1到达观察点，没有任何相位差。在图6-2（2）中，波前穿过原子我和我+1分别以虚线示出。光程，以波长测量，通过我+1比through短我由解决的部分一沿着k个，并且更长一沿着k个₁。因此它短了

k个·一个-k个₁·一个= (k个-k个₁)·一个

为了获得最佳增强效果，这必须是波长的整数，例如h波长。因此，如果k个是这样的

(k个-k个₁)·一个=小时    (2)

图6-2（2）。线性光栅衍射（原子行）；通过相邻原子的光路差异。

通过将h=0，可以看出这个问题的解决方案是k个=k个₁; 也就是说，在入射方向上总是存在最佳的小波增强。在这个方向的右边（上图中）是带正整数或‘订单‘h，左边表示负h。h的值受到衍射波必须远离原子行的条件的限制。单个散射子波是球形的这一事实将使它们在包含原子行的所有平面上的叠加结果相同。的方向k个因此，它仅代表了围绕行的方向锥，并且沿着该锥的所有观察方向都达到了最大振幅。如果我们想象从原子行发出的光线通过与平行于该行的磨砂玻璃板相交而变得可见，结果将是一系列明亮的双曲线，如图6-2（3）所示；同样的图案会出现在放置在行下方的玻璃板上，或者，事实上，在任何盘子与那排平行。

图6-2（3）。物理空间中磨砂玻璃板上显示的线性光栅衍射。

对于与原子行相关的差分作用方向的第一个描述，我们现在在互易空间'. 我们从方程（2）中得到以下求波矢方向的指令k个衍射波的方向k个₁入射波：使两个矢量的解析部分相对于平移一它们相差1的倍数（h）/|一|. 为此，我们构造了一系列垂直于原子行且间距为1的等距排列/|一|他们之间。如果给定的波矢量k个₁以使其在原点0处结束，从而确定其起点T。如果现在从T开始画任何矢量k个在其中一个平面上结束，假设标记为h，则条件（2）满足，并且全部的小波到达远处k个在同一阶段。但在经典散射中，波长没有变化；因此|k个| = |k个₁| = 1/λ. 这在几何上意味着k个也必须位于半径为1/λ的约T的球体上，即穿过原点。这个'反射球面'与圆中的一组平面相交，这些是衍射波矢量端点的几何轨迹。连接T，称为“并列’，对于编号为h的平面中圆的所有点，可以获得h阶衍射方向的圆锥体，如图6-2（4）所示。

图6-2（4）。倒数空间中显示的线性光栅衍射。

在此构造中，绘制平面的距离表示1/|一|，反射球面的半径为1/λ；因此，我们使用的是一个空间，其中的距离表示物理空间中长度的倒数，单位为厘米^-1或1/Ω（=10⁸厘米^-1). 没有什么比我们表示速度[cm/sec]、力[g·cm/sec更不寻常的了²]或电场强度[volt/cm]乘以适当标记空间中箭头的长度。我们在上面操作的空间被称为“倒易空间”，因为这个空间中的长度与物理空间中所取的长度的乘积是一个无量纲量，即一个纯数。

现在，我们将把衍射方向在物理空间及其相互作用中的相同两种表示推广到二维和三维原子晶格。

* * *

b.交叉光栅

这是周期性填充平面的散射中心阵列的另一个名称。所有原子——如果我们把它们作为中心——都是通过应用两个平移从一个原始原子中获得的，这两个平移矢量由一₁和一₂.如果我₁和我₂是独立的整数，范围从-∞到+∞，原子的位置为

x个_我1,我2=我₁一₁+我₂一₂.   (3)

最大再施力的条件全部的从这些点发出的小波是来自一个原子和它的两个相邻原子的小波之间没有相位差一₁和一₂翻译。但这正是条件（2）应用了两次，一次使用了翻译一₁和整数h₁，再次与一₂和一个独立整数h₂因此，波矢量的条件k个衍射波的

(k个-k个₁)·一个₁=小时₁

(k个-k个₁)·一个₂=小时₂.    (4)

我们借助图6-2（5）中的磨砂玻璃板来观察这种情况，我们认为磨砂玻璃与交叉光栅的平面平行。上述方程中的每一个都是沿着板与圆锥体的双曲线交点来实现的一₁和一₂满足这两个条件的方向是指向双曲线交点的方向。每个衍射射线都被命名为两位数的“阶”，（h₁，小时₂)，其中的整数表示原子及其相邻原子散射的子波的波长路径差的总数一₁和一₂。对于任何波长或入射角，总是存在交叉粒度谱。应该一₂远大于一₁然后，第二组双曲线的间距比第一组双曲线小得多，并且交点非常清楚地标出了第一组双曲线。从给出入射光线方向的中心光点开始，具有阶数（0，0），可以很容易地“指数'通过为每个点分配其（h₁，小时₂)值。

图6-2（5）。物理空间中磨砂玻璃板上显示的交叉粒度衍射。

球面小波在交叉光栅的两侧均匀组合；格栅下方的第二块磨砂玻璃板将显示相同的设计。对于上板上的透射光束，对应于下板上的反射光束，这又是顺序（0，0）。这两个梁（0，0）是总是无论原子距离如何，甚至其规律性如何。

 

现在让我们看一下在互惠空间中的相应结构。两个条件（4）中的第一个导致平面集垂直于一₁带间距1/|一₁|我们从图6-2（4）中得知。表示第二个条件（4）的类似平面集垂直于一₂，间距为1/|一₂|. 这两个条件在这些集合的交点上同时满足，即在垂直于平面的定期直线阵列上一₁和一₂除此之外，不改变波长的散射条件要求矢量k个半径反射球面上的衍射波端|k个₁|并以T为中心。波矢量k个_h1，h2因此，衍射波的从T开始，并在反射球面与h阶直线的交点处结束₁，小时₂如果反射球面的半径不太小，则上半球和下半球将始终存在交叉点，对应于如上所述发射到交叉光栅两侧的相同阶数的交叉光栅光谱。

图6-2（6）。左：物理空间中的交叉光栅；右上角：物理空间中的交叉光栅光谱模式；右下：垂直于的平面轨迹一₁和一₂用于在互惠空间中建造。

图6-2（6）显示了平移的交叉光栅一₁和一₂及其与物理空间中交叉双曲线模式的关系；它进一步在倒数空间中显示了垂直于一₁和一₂以及它们的交线分布。这些直线之间平行四边形的面积可以转换为一个矩形，其一侧为1/|一₁|，而另一侧（垂直）为1/(|一₂|sinα），其中α是由一₁和一₂因此面积为1/(|一₁||一₂|sinα），这是交叉光栅的单元（或平行四边形）的倒数。

* * *

c.三维晶格

如果交叉光栅，由两个平移形成一₁和一₂，由第三个翻译堆叠在一起一_三，不是躺在飞机上一₁和一₂，然后获得原子位于

x个1 =我₁一1 +我₂一₂+我_三一_三  (我_我整数）。    (5)

来自所有交叉光栅的衍射光线在波矢方向上与同一相位叠加的条件k个再次采用形式（2）。因此，我们现在必须满足三个条件，包括三个任意整数h_我，即

(k个-k个₁)·一个₁=小时₁

(k个-k个₁)·一个₂=小时₂   (6)

(k个-k个₁)·一个_三=小时_三

这些是劳厄在其关于该主题的第一篇论文中以略为简洁的形式给出的条件（劳厄方程形式参见第50页）。

第三个条件对两个几何表示中的第一个条件增加了什么？图6-2（5）中的磨砂玻璃板，平行于一₁,一₂将与相交一_三为了清楚起见，我们可以假设一_三足够陡峭地倾向于一₁,一₂使得围绕一_三，表示第三个条件（6），以椭圆形式与玻璃板相交；如果一_三垂直于板，交点当然是圆。要同时满足所有三个条件（6），椭圆或圆必须通过双曲线的交点（图6-2（7））。除入射方向外，一般不会发生这种情况，然后入射波将穿过晶体而不受衍射。然而，随着波长的减小，交叉光栅图案会向其中心、入射光线的方向收缩，椭圆或圆会围绕轴的点收缩一_三与板块相交。这些收缩以不同的速率发生，这意味着对于某些波长，三条曲线同时相交，并且有一条衍射射线（h₁，小时₂，小时_三)闪烁。这是晶体对白色X射线的通滤波作用，因为给定入射方向，衍射射线中只能出现特定波长，在这个特定的衍射角下不允许出现其他波长。然而，必须修改此语句，因为通过乘以k个和k个₁，以及订单号h_我通过相同的积分因子n，方程（6）在不改变方向的情况下保持满足k个或k个₁换句话说，如果波长λ因衍射而转向某个方向k个，则λ/Z，λ/3。当然，如果入射白辐射的光谱中包含这些较短的波长，则可以通过相应更高阶的衍射将其包含在同一方向上。劳厄图斑点中波长的这种多样性使得这些图比用单色辐射获得的图更不适合于晶体结构的确定。

图6-2（7）。在磨砂玻璃板上的物理空间中显示的三维晶格衍射。椭圆表示小波再增强的第三个条件。

在互易空间中，第三个条件（6）添加了一组垂直于一_三间距为1的、和/|一_三|，表示前两个条件的直线数组。这些线或杆与平面的交点产生了一个三维点阵，称为“倒易点阵'. 衍射的条件是反射球与倒易晶格的一点相交。同样，在给定入射方向和波长的情况下，简而言之，给定平分点，反射球很可能不会通过任何倒数格子的点，但定义上它通过的原点处的点除外。如果是这样，则只会形成“初级”光束（000），即入射光束的延续，并且在通常意义上没有衍射。然而，如果我们以任何方式改变连接点的位置，反射球将扫过一些晶格点，每次发生这种相交时，衍射光线都会闪烁。在劳厄方法中，入射方向是固定的，但矢量的长度k个₁是可变的，与波长成反比；因此，tie-point沿着穿过该点（000）的直线移动，球体的半径也相应变化。在使用单色X射线的方法中，T可以在半径为1/λ的球体上自由移动，即“波数球体”。如果像在粉末图中那样，在晶格的所有方向上都有入射，T就会在这个球体的整个表面上移动。在广角图中，T仅在由立体入射角切出的球体部分内移动。最后，在旋转或振荡图中，T被限制为一个大圆或其一部分，它垂直于旋转或振荡轴。在每种情况下，衍射图的“索引”过程本质上是从图中重建该几何结构，从而确定倒易晶格的形状。通过获得有关图上斑点的任何其他信息，此过程变得更容易。对于粉末图来说，这是最困难的，因为它什么都不知道；已知晶体对称性越高，越容易。振荡图比旋转图更容易索引，在旋转图上可能会出现更多的重叠点。了解晶体在反射旋转图或振荡图中每个点的瞬间的位置将有进一步的帮助。这是在所谓的测角仪方法中实现的，方法是将薄膜的位移与晶体的旋转相耦合，并将斑点的记录限制为“分层膜片”的某些类型的反射，如Weissenberg和Schiebold-Sauter测角仪。在De Jong-Bouman和Buerger旋进相机中，胶片和晶体的移动方式使斑点以一种模式出现，该模式是通过倒易晶格本身的一部分，因此不存在索引问题。然而，在所有情况下，索引都是一个例行程序，只要它完成了几次。

让我们为倒易晶格的几何体添加一些细节。我们回到图6-2（6）的第三部分，它表示平行杆阵列垂直于一₁,一₂图6-2（8）和第三轴的透视图中也显示了相同的情况，一_三.两个连续平面垂直于一_三显示（距离为1/|一_三|以及它们与杆相交的标记点。这八个交点悬挂着一个平行四边形，它是倒易格子的重复单位或单元。让我们来确定它的体积。我们已经知道单元的平面图有一个面积1/A，其中A是由轴定义的面积一₁和一₂将该面积乘以电池高度OQ，即可得到电池的体积。但我们知道，OQ的解决部分一_三，即OP的长度为1/|一_三|. 因此OQ=（1/|一_三|)：cosγ，其中γ是角度POQ。因此，OQ是晶胞厚度的倒数，即1/（l一_三l cosγ），这使得倒易晶格单元的体积与晶体单元的体积成反比。

倒数单元格的面由垂直于一₁,一₂、和一_三分别为。细胞的边缘是倒易晶格的平移，我们称之为倒易晶格b条₁,b条₂,b条_三; 因此，它们中的每一个对两个一-轴。这个事实可以用标量积消失来表示，

b条_我 · 一_k个=0，对于i≠k（7）

（见第86页标量积的定义）。

图6-2（8）。三维倒数格子。原点O是向量从其开始的角点一_我和b条_我绘制。一₁和一₂实际显示为表示长度1/|一₁|和1/|一₂|，且OP=1/|一_三|. 然后b条₁和b条₂如图所示b条_三=运行数量。这些是到一_我，满足等式（9），并且它们支持倒易格。

的此属性b条-轴由Bravais在19世纪40年代引入的“极轴”共享，但Bravais对轴的长度添加了不合适的定义。对于威拉德·吉布斯（Willard Gibbs）在耶鲁大学（Yale University）的演讲中首次引入的倒易轴，从图6-2（8）中可以很容易地看出b条_三=OQ，其长度已在上文中进行了讨论。结果是，OP方向上的OQ解析部分是OP长度的倒数；换句话说一_三和b条_三值为1。由于晶格分解为交叉光栅可能是通过选择任意两个来实现的一-轴，所有轴都必须有类似的方程，即

b条_我 · 一_我=1（i=1，2，3）（8）

条件（7）和（8）可以浓缩为一-轴及其往复运动b条-轴

b条_我 · 一_k个= δ_伊克,    (9)

其中δ_伊克称为Kronecker符号，当i=k时表示1，当i≠k时表示0。在这种形式下，两组轴的等价性非常明显。正如我们从一-设置，所以我们构造一-从给定的b条-设置。在结晶学中，许多光学或X射线测量首先导致b条-轴。

倒数晶格中的晶格矢量定义为从原点到任何其他晶格点的矢量。因此，它是

小时=小时₁b条₁+小时₂b条₂+小时_三b条_三,    (10)

类似于方程（5）中晶格矢量的计算。我们现在展示一下小时具有晶体空间中净平面法线的方向，其米勒指数为h_我根据这些指数的定义，我们知道这样一个平面在轴上的截距如下|一₁|/小时₁: |一₂|/小时₂：l一_三升/小时_三，（见第3章），和，乘以h₁小时₂小时_三，它们和h一样₂小时_三|一₁|：h_三小时₁|一₂|：h₁小时₂|一_三|. 因此h₂小时_三一₁，小时_三小时₁一₂，小时₁小时₂一_三是三个点第页₁,第页₂,第页_三其中米勒指数为h的平面₁，小时₂，小时_三可以铺设。向量小时如果该平面的标量积与两个向量垂直第页₂-第页₁和第页_三-第页₁在平面上消失。这些乘积的值是通过项乘以项得到的

小时 ·(第页₂-第页₁)=（小时₁b条₁+小时₂b条₂+小时_三b条_三)·（小时）_三小时₁一₂-小时₂小时_三一₁)

小时 ·(第页_三-第页₁)=（小时₁b条₁+小时₂b条₂+小时_三b条_三)·（小时）₁小时₂一_三-小时₂小时_三一₁).

由于关系（9），两个产品都消失了，这证明了这一说法。

如果在（10）中，部件编号为h_我没有公因数，我们用h表示_我*晶格矢量由小时*该向量结束于等距点行的第一个点，该等距点的位置是通过分量数的公共因子n h获得的_我假设所有整数值，正值和负值。这是通过书写来表示的

小时=个小时*.    (11)

间距的线性晶格|小时*|在互易空间中，是物理空间中垂直于小时，并且很容易显示它们的间距与沿一行点的间距成反比小时:

d日_小时= 1/|小时*|.    (12)

此间距d_小时是布拉格公式nλ=2d sinθ中的输入值。

指向向量小时=个小时*对应于间距d_小时/n、 或者，在布拉格公式中n个平面集上的次反射。

反射和衍射术语之间的关系在图6-2（9）中变得明显，图6-2（9）显示了倒易晶格的平面、连接点T和两条衍射射线。其中之一是波矢量k个_小时已输入。反射球穿过晶格点h的事实可以在方程式中说明

k个_小时-k个₁=小时（劳厄方程）（13）

这个单矢量方程表达了三个标量方程（6）或第50页引用的劳厄原始方程中包含的相同事实。

图6-2（9）。“衍射”和“反射”光线之间的关系。

因为k个₁和k个_小时长度相同，平面与矢量成直角小时并且通过其中点包含连接点。k个因此，h可以说是k个₁通过这个平面-这个平面属于米勒指数（h）的原子网平面集₁，小时₂，小时_三). 这表明劳厄的每一条“衍射”光线同时也是布拉格的一条“反射”光线。

6.3. 傅里叶空间

到目前为止，引入倒易晶格是一种方便的方法，可以直观地显示完美周期晶体衍射的方向。由于在所有这些方向上，散射的小波在没有相位差的情况下组合，因此有限晶体在这些方向上产生的振幅与N、晶体的原子数成比例，并且总是与振幅的平方成比例的能量将与N成比例²也就是说，如果晶体“沐浴在X射线中”，则为晶体体积的平方。我们已经在6.1中讨论过，这不是通常观察到的强度，因为（完美）晶体越大，其分辨率越高，其滤波作用越尖锐，因此，随着N的增加，主极大值的角宽度和允许波长的光谱范围减小。如果我们考虑一个有限的，因此在数学意义上是非周期的晶体，在满足劳埃-布拉格条件方面有一定的自由度，因为对于非常轻微的侵犯，来自晶体的小波将继续相互作用。这意味着向量k个衍射波的振幅不必结束于倒易点阵的点阵点，只要它在附近结束，在这种情况下，振幅将小于最大值。因此，我们可以绘制晶格点之间空间的振幅分布，类似于图6-1（2）中所示的一维情况的振幅分布。同样，如6.1中所述，可以将观察到的强度视为与能量分布主峰下的积分值成比例，该积分值是通过将振幅分布平方得到的。该峰值的极限由矢量设定k个在整个晶体中形成了一个额外的波长路径差，超过了当k个在晶格点结束。因此，晶体可以分为两半，因此，对于前半部分中的每个反射面，后半部分中都有一个反射面，其反射与前半部分的反射相差λ/2。如果这些相应平面的面积相等，则会发生完全抵消；如果它们不相等，则只剩下表面效果，而不是体积效果。

让我们假设晶体是一个平行opipedon，根据晶体轴定向，即包含N₁单元格沿一₁，N个₂沿着一₂、和N_三沿着一_三.考虑方向一₁，相邻小波之间的路径差为h₁λ（h级衍射₁，小时₂，小时_三). 因此，来自晶体的两个极端小波之间的路径差为N₁小时₁λifk个终止于晶格点（h₁，小时₂，小时_三). 如果我们将该路径增加sλ，其中s是一个整数，我们将得到近零场。但这意味着任何两个相邻平面之间₁和h₁+倒数晶格的1，距离为1/|一₁|它们之间有N个交错₁平行平面是这些波矢量的几何轨迹k个其合成振幅为零或接近零。同样可以在其他两个方向上以相应的间距1/（N_我|一_我|). 因此，我们得到了一个倒数系数为N的细胞的分裂₁N个₂N个_三形状与整个晶体形状相反的亚细胞。在这些子细胞的壁上，结束了矢量k个衍射光场几乎消失；在每个子细胞的内部，衍射振幅将有一个（正或负）最大值，强度分布为正最大值，但这些最大值的高度随着距点阵点距离的增加而迅速下降，因为晶体中越来越小的部分会产生那些在相反相位中不会被其他部分抵消的子波。所有这些只是图6-1（2）向三维的延伸。

现在，我们用振幅分布填充倒数空间，振幅分布与倒数晶格的每个点的振幅分布相同。尽管这些点本身指示晶格，但子电池壁和它们之间包含的振幅分布与晶体的内部周期性无关；相反，它们是由晶体的外部形状决定的。事实上，如果外部形状填充了非晶态分布的散射物质（液体或玻璃状），它们在原点（000）附近将保持不变，而在这种情况下，原点以外的倒格子点失去了它们的重要性，周围的振幅分布也随之失去。零振幅子胞壁的构造可以很容易地通过光学中的菲涅耳区获得。

图6-3（1）以示意方式显示了倒易空间中的晶格点是如何被振幅分布（衍射晶体的“形状变换”）包围的。图中的除法是二十分之一和十分之一轴b条₁和b条₂晶体的形状如图所示。这相当于一个由20 x 10个细胞组成的晶体。反射球与原点的分布相交，这将导致小角度衍射。此外，球体靠近其他两个点阵点，这些阶的衍射场将由球体表面的振幅（或强度）分布给出。在上面的交点处，我们可以看到光斑将被分割成两部分，其中球体与穿过该点的两个中心行相交（h₁，小时₂，小时_三) . 这些行是h的主要峰值₁或h₂方向具有双重宽度，正如我们从6-1的一维情况中所知道的那样。当晶体的形状包含相对较大的平面时，总是会出现这种“强度尖峰”，应用菲涅耳区理论很容易理解它们的出现。劳厄是第一个指出这一点的人，他解释了八面体形状的电解沉积的非常小且规则的金属晶体的电子衍射图中衍射点的分裂。如果晶体较大，则整个振幅分布在晶格点周围收缩，变得不可见；强度的积分值仍然可以测量，积分产生洛伦兹因子。

图6-3（1）。有限矩形晶体衍射时，倒数晶格点周围的振幅或强度分布（晶体形状因子）。

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以上可以作为在倒易晶格晶格点周围的空间中绘制连续振幅和强度分布的方法的示例。因为这与傅立叶变换的数学理论密切相关，所以嵌入倒易晶格的空间最好称为傅立叶空间。这就摆脱了“互惠空间”这个术语，这是一个不好的术语，因为互惠是两个事物之间的对称关系，因此不适合指定其中一个。傅里叶变换的数学概念支配和简化了（运动学）衍射理论的现代表述。

可以证明，物质或电子密度的分布，或晶体中任何其他性质，可以用两种根本不同但完全等效的方式来描述。一个是，为了给出这个函数，比如ρ(x个)，即作为位置矢量的函数x个（或其部件号x₁，x个₂，x个_三) . 另一种方法是给出从质量分布中获得的所有衍射效应的完整描述，以及所有可能的波长，这意味着给出整个傅里叶空间中衍射振幅F的值，即位置矢量的所有值η= η₁b条₁+ η₂b条₂+ η_三b条_三在这个空间里。从一种描述到另一种描述的转换是通过积分实现的，因此是一种简单的数学操作，可以写下来，尽管在许多情况下很难实现。如果ρ(x个)是严格周期的（包括其处处延伸到无穷大）F(η)为零，但倒数格点除外，其中η=小时; 这可以通过说傅立叶空间被简化为“索引空间”来表达，即对应于ρ的周期性的倒易晶格的点(x个). 在这种情况下，傅里叶空间上的积分退化为和，或傅里叶积分退化为傅里叶级数。

因为我们不能观察F(η)但只有|F(η)|强度|F(η)|²，我们无法执行傅里叶变换，因为傅里叶转换会将我们直接从傅里叶空间返回到晶体空间；相反，“相位问题”在两个空间之间隐约可见（另请参阅下一章）。